Book: Геометрия: Планиметрия в тезисах и решениях. 9 класс



Андрей Николаевич Павлов

Геометрия: Планиметрия в тезисах и решениях. 9 кл

Предисловие для учащихся

Это пособие призвано помочь вам, во-первых, систематизировать знания по планиметрии, а во-вторых, подготовить вас к итоговым контрольным работам и возможной сдаче экзамена за курс геометрии в 9 классе.

Если вы не сдаёте устный экзамен по планиметрии, а лишь пишете итоговую контрольную работу или сдаете письменный зачёт, можете смело пропустить чтение первой главы этой книги. К её материалам вы сможете обратиться лишь за соответствующими подсказками теоретического характера.

Вторая глава посвящена разбору методов решения планиметрических задач всех основных видов. При этом задачи условно поделены на три уровня сложности. Первый уровень – базовый, второй уровень представлен задачами повышенной сложности. Если же вам наскучили задачи школьного учебника и вы решили готовиться к поступлению в такие вузы как МГУ, МФТИ, МГТУ, МАИ и т. д., решайте задачи третьего уровня сложности. Уровень сложности задания указан в скобках рядом с условием каждой задачи (и каждого вопроса первой главы).

Описание каждого геометрического метода или идеи сопровождается не только решением нескольких типовых задач, но и задачами для самостоятельной работы. Ко всем задачам даны указания и ответы.

Предисловие для учителей

У этой книги две цели. С одной стороны, она представляет собой пособие для учащихся, призванное обобщить знания по курсу планиметрии, подготовить школьника к сдаче экзамена по геометрии в 9 классе. С другой стороны, книга может быть полезной учителям математики, так как содержит не только необходимый материал для подготовки учащихся к экзамену, но и сами комплекты экзаменационных билетов с задачами и ответами к ним.

Особенностью пособия является реализуемый в нем принцип уровневой дифференциации. Все вопросы, задачи и экзаменационные комплекты условно поделены на три уровня: базовый, углублённый и элективный (уровень указан в скобках после каждого задания). Первый уровень соответствует общеобразовательным классам и опирается на действующие стандарты математического образования. Второй уровень, помимо базовых, содержит вопросы и задачи повышенной сложности. Работа на этом уровне целесообразна в гимназических (лицейских) классах в рамках пропедевтики профильного обучения в старших классах. Третий уровень включает материал, который можно использовать как на факультативах, так и в специализированных школах при подготовке учащихся к поступлению в такие вузы, как МГУ, МФТИ, МАИ, МГТУ и другие.

В пособии четыре главы. Первая глава содержит справочную информацию и контрольные вопросы по всему курсу планиметрии. Теоретический материал, выходящий за рамки школьной программы, выделен другим шрифтом. Во второй главе идет разбор планиметрических задач как по объекту решения (треугольник, трапеция, параллелограмм, окружность и т. д.), так и по используемым приёмам и методам, дополняемый задачами для самостоятельной работы. В третьей главе представлены четыре комплекта билетов по геометрии. В четвёртой главе даются ответы, решения и указания к приведённым задачам.


Автор выражает благодарность своим ученикам: Федору Борзову, Игорю Григорьеву, Елене Гудковой, Марии Ларькиной, Наталье Парамзиной, Марии Соловьёвой, Марии Трошиной, Антону Турецкому, Артему Умаханову, Евгению Штыркову, которые оказали большую помощь в создании книги.

Глава 1

Справочная информация теоретического характера

§ 1. Логические основы школьного курса планиметрии

1.1. Справочная информация

Геометрия – это наука о свойствах геометрических фигур. Слово «геометрия» греческое, в переводе на русский язык означает «землемерие». Такое название этой науке было дано потому, что в древнее время главной целью геометрии было измерение расстояний и площадей на земной поверхности.

Геометрия часто применяется на практике. Её надо знать и рабочему, и инженеру, и архитектору, и художнику. Одним словом, геометрию надо знать всем.

Планиметрия – это раздел геометрии, в котором изучаются фигуры на плоскости.

Фигура – это произвольное множество точек на плоскости. Точка, прямая, отрезок, луч, треугольник, круг, квадрат и так далее – всё это примеры геометрических фигур.

Основными геометрическими фигурами на плоскости являются точка и прямая. Этим фигурам в геометрии не даётся определений.

Также не определяются такие понятия (отношения), как «лежать между», «принадлежать», «проходить через...» и так далее.

Остальным геометрическим фигурам и другим понятиям даются определения. Определение – это предложение, в котором разъясняется смысл и содержание того или иного понятия. При этом разъяснение состоит в том, что оно сводится к ранее определённым понятиям.

Существует несколько подходов к построению курса планиметрии (и геометрии в целом):аксиоматический, аналитический, векторный, групповой.

Аксиоматическая теория строится следующим образом:

1) даются неопределяемые понятия (в нашем случае это точка и прямая);

2) вводятся неопределяемые отношения (связи между понятиями – «лежать между», «принадлежать» и так далее);

3) даётся система аксиом – то есть утверждений, принимаемых без доказательства;

4) на основе аксиом и законов математической логики доказываются теоремы.

Аксиом, как правило, немного, а вот теорем – бесконечное множество. К аксиомам планиметрии можно отнести следующие:

1. Какова бы ни была прямая, существуют точки, принадлежащие этой прямой, и точки, не принадлежащие ей.

Через любые две точки можно провести прямую, и только одну.

2. Из трёх точек на данной прямой одна и только одна лежит между двумя другими.

3. Каждый отрезок имеет определённую длину, большую нуля. Длина отрезка равна сумме длин его частей, на которые он разбивается любой его точкой.

4. Прямая разбивает плоскость на две полуплоскости.

5. Каждый угол имеет определённую градусную меру, большую нуля. Развёрнутый угол равен 180°. Градусная мера угла равна сумме градусных мер углов, на которые он разбивается любым лучом, проходящим между его сторонами.

6. На любом луче от его начальной точки можно отложить отрезок заданной длины, и только один.

7. От любого луча в заданную полуплоскость можно отложить угол с заданной градусной мерой, меньшей 180°, и только один.

8. Каков бы ни был треугольник, существует равный ему треугольник в заданном расположении относительно данного луча.

9. Через точку, не лежащую на данной прямой, можно провести не более одной прямой, параллельной данной.

На основе приведённых аксиом доказываются различные свойства геометрических фигур (теоремы). Доказать теорему – значит провести логически правильное рассуждение о свойстве той или иной геометрической фигуры.

Любая теорема состоит из двух частей: условия и заключения. Записывают это так: У ? З (из условия следует заключение; или: если У, то З). Например: У = «углы ? и ? – вертикальные», З = «углы ? и ? равны». Получаем верное утверждение (теорему):У ? З (если углы и – вертикальные, то они равны, или, проще: вертикальные углы равны).

К каждому утверждению У ? З, называемому прямым, можно написать ещё три:

З ? У – обратное утверждение;

не У ? не З – противоположное утверждение;

не З ? не У – противоположное к обратному утверждение.

В нашем примере обратное утверждение (если углы равны, то они вертикальны) и противоположное утверждение (если углы не вертикальные, то они не равны) являются ложными, а вот противоположное к обратному утверждение (если углы не равны, то они не вертикальные) – истинно.

Вообще, в математической логике есть закон контрапозиции, который гласит, что прямое и противоположное к обратному утверждения эквивалентны (по этому же закону эквивалентны обратное и противоположное утверждения).

На законе контрапозиции основан метод доказательства теорем от противного.

Пусть требуется доказать теорему У ? З. Мы предполагаем, что её заключение неверно. Далее логически доказываем, что тогда и У неверно. Иными словами, мы доказываем противоположную к обратной теореме: не З ? не У. Тогда прямая теорема по закону контрапозиции также верна. Метод доказательства от противного применяется тогда, когда противоположная к обратной теорема доказывается проще прямой теоремы.

Теоремы можно поделить и по другому основанию. Выделяют теоремы-свойства и теоремы-признаки. В теоремах-свойствах доказываются свойства заданных геометрических фигур. Например, утверждение: «в ромбе диагонали перпендикулярны друг другу», «медианы в треугольнике делятся в отношении 2:1» – это теоремы свойства. Теоремы-признаки – это утверждения, благодаря которым можно определить, о какой фигуре идет речь. Например, «если в четырёхугольнике противоположные стороны равны, то этот четырёхугольник – параллелограмм». Безусловно, верно и обратное утверждение: «у параллелограмма противоположные стороны равны». Иными словами, равенство противоположных сторон является не только свойством, но и признаком параллелограмма.

Свойство фигуры, которое является одновременно и её признаком, называется характеристическим свойством (критерием) данной геометрической фигуры. В принципе, любое характеристическое свойство фигуры можно принять за её определение.

Иногда для удобства выделяют два частных случая теорем – следствие и лемму. Следствие – это утверждение, непосредственно вытекающее из теоремы. Лемма – это вспомогательное утверждение, используемое при доказательстве основной теоремы.

Множество всех неопределяемых понятий и отношений, аксиом и теорем называют аксиоматической теорией. Аксиоматическая теория, построенная на основе девяти приведённых аксиом, называется евклидовой.


Несколько дополнительных сведений по аксиоматическому подходу в геометрии. Система аксиом геометрии подбирается не произвольным образом. К ней предъявляются три основных требования: независимости, непротиворечивости и полноты.

Система аксиом называется независимой, если ни одну из аксиом нельзя вывести как теорему из других аксиом (тогда данная аксиома была бы лишней).

Система аксиом называется непротиворечивой, если из неё нельзя вывести две теоремы, которые противоречат друг другу.

Систему аксиом называют полной, если какое бы утверждение о свойстве той или иной геометрической фигуры мы ни сформулировали, всегда можно установить – истинно оно или ложно.

Приведённая выше система аксиом евклидовой геометрии удовлетворяет всем трём требованиям (доказано А. В. Погореловым).

Помимо евклидовой существуют и другие аксиоматические теории (неевклидовы геометрии). Например, если девятую аксиому евклидовой геометрии заменить на её отрицание («Через точку, не лежащую на прямой, можно провести более одной прямой, параллельной данной»), а остальные оставить без изменения, получим планиметрию Лобачевского. Тогда будут доказаны неожиданные для нас утверждения: «Сумма углов в треугольнике меньше двух прямых», «существуют треугольники, около которых нельзя описать окружность», «не существует подобных треугольников» и многие другие.

Изменяя систему аксиом, а также меняя неопределяемые понятия и отношения, мы будем получать другие неевклидовы геометрии (сферическую, эллиптическую и так далее).

Помимо аксиоматического, в геометрии широко распространён аналитический подход. Его суть состоит в том, что на плоскости вводится система координат и каждой точке ставится в соответствие пара чисел (х; у) – её координаты. Благодаря этому удаётся записывать уравнения различных фигур (прямых, окружностей и так далее), изучать их свойства. Введение декартовой прямоугольной системы координат и применение алгебраического аппарата нередко позволяют легче решать многие задачи по геометрии.

Обобщением (в определённом смысле) аналитического подхода в геометрии является векторный подход. Разница состоит в том, что на плоскости вводится векторная (аффинная) система координат, причём два базисных вектора не обязательно перпендикулярны друг другу и к тому же могут различаться по длине. Введение векторной системы координат также нередко позволяет быстрее и проще решать целый ряд геометрических задач.

В высшей геометрии весьма распространён групповой подход. Группой называется непустое множество М, на котором определена некоторая операция*, причём выполняются следующие условия:

1) для любых элементов а, в, с из М(а*в)*с = а*(в*с):

2) существует элемент е из М, такой, что а*е = е*а = а:

3) для любого элемента а существует элемент а-1, что а*а-1= а-1*а = е.

В геометрии можно выделить множество групп, например, группу перемещений, группу преобразования подобия. Самой важной группой в планиметрии является группа перемещений плоскости, так как с её помощью вводится понятие равных фигур. Равные фигуры обладают одинаковыми геометрическими свойствами, которые не изменяются (инвариантны) под действием перемещений. В целом можно сказать, что каждая группа преобразований задаёт свою геометрию, в которой изучаются свойства фигур, инвариантные (неизменяемые) относительно данной группы преобразований.

Инварианты группы перемещений (и других групп) «невидимо» присутствуют при решении задач методом геометрических преобразований. Так, строя образы фигур при различных видах движений (симметрия, параллельный перенос и так далее), мы получаем равные фигуры, что позволяет в ряде случаев успешно решать сложные задачи.



1.2. Вопросы для самопроверки

1. Что изучает геометрия? (1)

2. Что означает слово «геометрия» в переводе с греческого языка? (1)

3. В каких видах человеческой деятельности нужны знания по геометрии и пространственное воображение? Покажите эту значимость в деятельности: а) рабочего; б) инженера; в) архитектора; r) художника; д) Вас лично в решении бытовых задач. (1)

4. Что изучает планиметрия? Приведите примеры геометрических фигур и их свойств. (1)

5. Назовите основные (неопределяемые) понятия в планиметрии. (1)

6. Какие вы знаете неопределяемые отношения в курсе геометрии? (1)

7. Что значит дать определение геометрической фигуры? (1)

8. В чем состоит сущность аксиоматического подхода в геометрии? (1)

9. Что такое аксиома? (1)

10. Что такое теорема? (1)

11. Перечислите аксиомы планиметрии. (1)

12. Что значит доказать теорему? (1)

13. Из каких частей состоит теорема? (1)

14. Какая теорема называется: а) обратной; б) противоположной; в) противоположной к обратной? (1)

15. Даны четыре теоремы: прямая, обратная, противоположная, противоположная к обратной. Какие пары из перечисленных теорем являются эквивалентными? (1–2)

16. В чем состоит сущность метода доказательства теорем от противного? (1)

17. Что такое теорема-свойство и теорема-признак? (1)

18. Что такое характеристическое свойство геометрического объекта (фигуры, тела и т. д.)? Как связаны между собой термины «характеристическое свойство объекта» и «определение объекта»? (1)

19. Какие требования предъявляются к системе аксиом? (3)

20. Как вы понимаете следующие высказывания:

а) система аксиом непротиворечива; (3)

б) система аксиом независима; (3)

в) данная система аксиом – полная (3)?

21. Какая геометрия называется евклидовой? (1)

22. Какие неевклидовы геометрии вы знаете? (3)

23. В чем отличие аксиоматики Лобачевского от систем аксиом Евклида? (3)

24. В чем суть аналитического подхода в геометрии? (2)

25. Что такое аффинная система координат? (2)

26. Что такое группа? В чем суть группового подхода в геометрии? (3)

27. Что такое инвариант? (3)

1.3. Темы для сообщений и рефератов

1. Высказывания. Операции над высказываниями. Законы математической логики.(2)

2. Основные факты планиметрии Лобачевского. (3)

3. Особенности геометрии на сфере. (3)

4. Методы доказательства теорем (прямое доказательство, от противного, контрпример, метод симметрии и т. д.). (1–2)

5. Группы преобразований плоскости и их инварианты. (3)

6. Топологические многообразия в геометрии. (3)

§ 2. Основные понятия планиметрии

2.1. Справочная информация

На экзамене по геометрии очень важно давать правильные (корректные) определения. Часто допускаются такие ошибки, как «порочный круг» (например, круг – это часть плоскости, ограниченной окружностью, а окружность – это граница круга), наличие синонима определяемого термина в определении, пропуск «несущественных деталей» (например, касательная к окружности – это прямая, имеющая с окружностью одну общую точку, «деталь» – это тот факт, что прямая должна лежать с окружностью в одной плоскости).

Определения геометрических фигур можно дать различными способами:

1. Через род и видовое отличие.

Например: квадрат – это прямоугольник с равными сторонами. Прямоугольник в определении – ближайший род, равенство сторон – видовое отличие.

2. Генетически (указание происхождения понятия).

Например, окружность – это множество точек плоскости, находящихся на равном расстоянии от данной точки, лежащей в этой плоскости.

3. Через указание свойств фигуры (дескрипции).

Пример: число ? – это то число, которое, будучи умножено на длину диаметра, даёт длину его окружности.

4. Конструктивно (указывается способ построения объекта).

Пример: пусть дана произвольная окружность. Разделим её на n равных частей последовательно расположенными точками А1, А2..., Ап. Замкнутая ломаная A1A2...АnА1 образует правильный n-угольник.

5. Аксиоматически.

К примеру, определение площади фигуры F даётся как числовая функция S(F), удовлетворяющая определённым условиям (аксиомам).

Другие способы дачи определений в геометрии встречаются крайне редко.


Перейдём к определениям.

Неопределяемыми геометрическими фигурами на плоскости являются точка и прямая.

Точки принято обозначать прописными латинскими буквами: А, В, С, D .... Прямые обозначаются строчными латинскими буквами: а, b, с, d ....

Точка А лежит на прямой а, точка В лежит на прямой b, точка О принадлежит одновременно прямым а и b, т. е. является точкой пересечения этих прямых (рис. 1).

Геометрия: Планиметрия в тезисах и решениях. 9 класс

Рис. 1.


Отрезком называется часть прямой, которая состоит из всех точек этой прямой, лежащих между двумя данными её точками. Эти две точки называются концами отрезка. Отрезок обозначается указанием его концов. Когда говорят или пишут: «отрезок АВ», то подразумевают отрезок с концами в точках А и В (рис. 2).

Геометрия: Планиметрия в тезисах и решениях. 9 класс

Рис. 2.


[АВ] – отрезок АВ.

Прямая разбивает плоскость на две полуплоскости. Это разбиение обладает следующим свойством. Если концы какого-нибудь отрезка принадлежат одной полуплоскости, то отрезок не пересекает прямую. Если концы отрезка принадлежат разным полуплоскостям, то отрезок пересекает прямую.

Отрезок АВ не пересекает прямую а, отрезок АС пересекает прямую а (рис. 3).

Геометрия: Планиметрия в тезисах и решениях. 9 класс

Рис. 3.


Лучом называется часть прямой, которая состоит из всех точек этой прямой, лежащих по одну сторону от данной её точки. Эта точка называется начальной точкой луча. Различные лучи одной и той же прямой, имеющие общую начальную точку, называют дополнительными (рис. 4).

Геометрия: Планиметрия в тезисах и решениях. 9 класс

Рис. 4.


Лучи, так же как и прямые, обозначаются строчными латинскими буквами. Точка А является начальной точкой двух лучей p и q. Лучи p и q являются дополнительными.

Углом называется фигура, которая состоит из точки – вершины угла – и двух различных лучей или отрезков, исходящих из этой точки – сторон угла. Слово «угол» иногда заменяют знаком ? (рис. 5, 6).

Геометрия: Планиметрия в тезисах и решениях. 9 класс

Рис. 5.

Геометрия: Планиметрия в тезисах и решениях. 9 класс

Рис. 6.


На рис. 5 угол ? = ?АОВ образован двумя отрезками ОА и ОВ.

На рис. 6 угол ? образован двумя лучами р и q, имеющими начальную точку О.

Если стороны угла являются дополнительными лучами одной прямой, то угол называют развёрнутым (рис. 7).

Геометрия: Планиметрия в тезисах и решениях. 9 класс

Рис. 7.


Угол А является здесь развёрнутым.

Луч проходит между сторонами данного угла, если он исходит из его вершины и пересекает какой-нибудь отрезок, соединяющий любые две точки, лежащие на разных сторонах угла.

Луч q проходит между сторонами ОА и OB угла AOB (рис. 8).

Геометрия: Планиметрия в тезисах и решениях. 9 класс

Рис. 8.


Углы измеряют в градусах и радианах. При этом ? радиан = 180°.

Два угла называются смежными, если у них одна сторона общая, а другие стороны этих углов являются дополнительными лучами (рис. 9).

Геометрия: Планиметрия в тезисах и решениях. 9 класс

Рис. 9.


Сумма смежных углов равна 180°.

Лучи p и q – дополнительные, точка В принадлежит лучу p а точка А принадлежит лучу q. Углы СОА и СОВ – смежные.

Угол, равный 90°, называется прямым.

Угол, меньший 90°, называют острым углом. Угол, больший 90° и меньший 180°, называют тупым (рис. 10, а; б; в).

Геометрия: Планиметрия в тезисах и решениях. 9 класс

Рис. 10.


Углы:?АОВ – прямой, ?COD – острый, ?EOF – тупой.

На рисунках прямые углы часто обозначают знаками ?, ?.

Два угла называют вертикальными, если стороны одного угла являются дополнительными лучами сторон другого (рис. 11).

Геометрия: Планиметрия в тезисах и решениях. 9 класс

Рис. 11.


р и q – дополнительные лучи одной прямой, а m и n – дополнительные лучи другой прямой. Точка О – точка пересечения этих двух прямых и является начальной точкой всех указанных выше лучей.

Точки А, В, С, D лежат на соответствующих лучах.

Углы АОВ и COD – вертикальные.

Две прямые называют перпендикулярными, если они пересекаются под прямым углом. Перпендикулярность прямых обозначается знаком ? (рис. 12):

а ? b.

Геометрия: Планиметрия в тезисах и решениях. 9 класс

Рис. 12.


Через каждую точку прямой можно провести перпендикулярную ей прямую, и только одну.

Перпендикуляром к данной прямой называется отрезок прямой, перпендикулярной данной, который имеет одним из своих концов их точку пересечения. Этот конец отрезка называется основанием перпендикуляра (рис. 13):

АA' – перпендикуляр к прямой a, A' – обоснование перпендикуляра.

Геометрия: Планиметрия в тезисах и решениях. 9 класс

Рис. 13.


Биссектрисой угла называется луч, который исходит из вершины угла, проходит между его сторонами и делит угол пополам (рис. 14).

Геометрия: Планиметрия в тезисах и решениях. 9 класс

Рис. 14.


ОС – биссектриса угла АОВ (?АОС = ?ВОС).

Пусть две прямые a и b пересечены прямой с.

Прямая с по отношению к прямым a и b называется секущей (рис. 15).

Геометрия: Планиметрия в тезисах и решениях. 9 класс

Рис. 15.


Углы 3 и 5 (4 и 6) называются внутренними накрест лежащими, углы 3 и 6 (4 и 5) – внутренними односторонними, углы 1 и 6 (2 и 5) – соответственными.

Две прямые называются параллельными, если они не пересекаются. Для обозначения параллельности прямых используется знак||(рис. 16):

а||b.

Геометрия: Планиметрия в тезисах и решениях. 9 класс

Рис. 16.


Треугольником называется фигура, которая состоит из трёх точек, не лежащих на одной прямой, и трёх отрезков, попарно соединяющих эти точки. Точки называются вершинами треугольника, а отрезки – его сторонами (рис. 17):

?ABC.

Геометрия: Планиметрия в тезисах и решениях. 9 класс

Рис. 17.


Углом треугольника ABC при вершине А называется угол, образованный отрезками АВ и АС. Также определяются углы треугольника при вершинах В и С.

Две фигуры называются равными, если они при наложении друг на друга совпадают (т. е. существует движение, переводящее одну фигуру в другую). Таким образом, треугольники равны, если у них соответствующие стороны и соответствующие углы равны (при этом соответствующие углы лежат против соответствующих сторон).

Треугольник называется равнобедренным, если у него две стороны равны. Эти равные стороны называются боковыми сторонами, а третья сторона называется основанием треугольника (рис. 18).

Геометрия: Планиметрия в тезисах и решениях. 9 класс

Рис. 18.


?ABC – равнобедренный (АВ = ВС – боковые стороны, АС – основание).

Треугольник, у которого все стороны равны, называется равносторонним (рис. 19).

Геометрия: Планиметрия в тезисах и решениях. 9 класс

Рис. 19.


? DEF– равносторонний (DE = EF = DF).

Высотой треугольника, опущенной из данной вершины, называется перпендикуляр, проведённый из этой вершины к прямой, которая содержит противолежащую сторону треугольника (рис. 20, а; б).

Геометрия: Планиметрия в тезисах и решениях. 9 класс

Рис. 20.


ВН – высота в треугольнике ABC (ВН ? АС).

Биссектрисой треугольника, проведённой из данной вершины, называется отрезок биссектрисы угла треугольника, соединяющий эту вершину с точкой на противолежащей стороне (рис. 21).

Геометрия: Планиметрия в тезисах и решениях. 9 класс

Рис. 21.


AL – биссектриса в треугольнике ABC (?BAL = ?CAL).

Медианой треугольника, проведённой из данной вершины, называется отрезок, соединяющий эту вершину с серединой противолежащей стороны треугольника (рис. 22).

Геометрия: Планиметрия в тезисах и решениях. 9 класс

Рис. 22.


AM – медиана треугольника ABC (BM = MC).

Внешним углом треугольника при данной вершине называется угол, смежный с углом треугольника при этой вершине (рис. 23).

Геометрия: Планиметрия в тезисах и решениях. 9 класс

Рис. 23.


? – внешний угол ?ABC при вершине А.

Треугольник называется прямоугольным, если у него есть прямой угол (рис. 24).

Геометрия: Планиметрия в тезисах и решениях. 9 класс

Рис. 24.


Сторона прямоугольного треугольника, противолежащая прямому углу, называется гипотенузой, две другие стороны называются катетами.

?ABC – прямоугольный (?А = 90°). АВ и АС – катеты, ВС – гипотенуза.

Треугольник называется остроугольным, если все его углы – острые. Треугольник называется тупоугольным, если у него есть тупой угол.

?ABC – остроугольный, ?А < 90° (рис. 25, а);

?ABC – тупоугольный, ?А > 90° (рис. 25, б).

Геометрия: Планиметрия в тезисах и решениях. 9 класс

Рис. 25.


Средней линией треугольника называется отрезок, соединяющий середины двух любых сторон треугольника (рис. 26).

Геометрия: Планиметрия в тезисах и решениях. 9 класс

Рис. 26.


EF – средняя линия ?ABC (АЕ = ЕВ. CF = FB).

Египетским называется прямоугольный треугольник, у которого длины сторон выражаются целыми числами (например:3, 4, 5 или 5, 12, 13 и так далее).

Окружностью называется фигура, которая состоит из всех точек плоскости, равноудалённых от заданной точки. Эта заданная точка называется центром окружности.

Расстояние от точек окружности до её центра называется радиусом окружности. Радиусом называется также отрезок, соединяющий любую точку окружности с её центром (рис. 27).

Геометрия: Планиметрия в тезисах и решениях. 9 класс

Рис. 27.


ОА – радиус окружности.

Радиусы окружностей часто обозначают буквами R или r, т. е. ОА = R или ОА = r.

Круг – это часть плоскости, ограниченная окружностью (рис. 28).

Геометрия: Планиметрия в тезисах и решениях. 9 класс

Рис. 28.


Отрезок, соединяющий две точки окружности, называется хордой. Хорда, проходящая через центр, называется диаметром окружности (рис. 29).

Геометрия: Планиметрия в тезисах и решениях. 9 класс

Рис. 29.


АВ – диаметр окружности, CD – хорда.

Диаметры окружностей часто обозначают буквами D или d. Очевидно, что D = 2R или d = 2 r.

Дуга окружности – это её часть, ограниченная двумя точками окружности (рис. 30).

Геометрия: Планиметрия в тезисах и решениях. 9 класс

Рис. 30.


Точки А и В делят окружность на две дуги:1 и 2.

Сектор круга – часть круга, ограниченная двумя радиусами и соответствующей дугой (рис. 31).

Геометрия: Планиметрия в тезисах и решениях. 9 класс

Рис. 31.


Радиусы ОА и ОВ разделили круг на два сектора:1 и 2.

Сегмент круга – это часть круга, ограниченная хордой и соответствующей дугой (рис. 32).

Геометрия: Планиметрия в тезисах и решениях. 9 класс

Рис. 32.


Хорда АВ делит круг на два сегмента:1 и 2.

Окружность называется описанной около треугольника, если она проходит через все его вершины (рис. 33).

Геометрия: Планиметрия в тезисах и решениях. 9 класс

Рис. 33.


ОА = ОВ = ОС = R.

Прямую, проходящую через середину отрезка перпендикулярно к нему, называют серединным перпендикуляром (рис. 34). В связи с этим говорят, что центр окружности, описанной около треугольника, лежит на пересечении серединных перпендикуляров к сторонам треугольника.

а – серединный перпендикуляр к отрезку АВ (АО = ОВ).

Геометрия: Планиметрия в тезисах и решениях. 9 класс

Рис. 34.


Прямая, проходящая через точку окружности в той же плоскости перпендикулярно к радиусу, проведённому в эту точку, называется касательной. При этом данная точка окружности называется точкой касания (рис. 35).

Геометрия: Планиметрия в тезисах и решениях. 9 класс

Рис. 35.


а – касательная к окружности, А – точка касания, а ? ОА.

Говорят, что две окружности, имеющие общую точку, касаются в этой точке, если они имеют в этой точке общую касательную. Касание окружностей называется внутренним, если центры окружностей лежат по одну сторону от их общей касательной. Касание окружностей называется внешним, если центры окружностей лежат по разные стороны от их общей касательной (рис. 36, а; б).

Геометрия: Планиметрия в тезисах и решениях. 9 класс

Рис. 36.


а – общая касательная к двум окружностям, К – точка касания.

Окружность называется вписанной в треугольник, если она касается всех его сторон (рис. 37).

Геометрия: Планиметрия в тезисах и решениях. 9 класс

Рис. 37.


Точки K, L, M – это точки касания окружности, вписанной в ?ABC. OK = OL = OM = r.

В задачах на построение речь идет о построении геометрической фигуры с помощью данных чертёжных инструментов. Такими инструментами чаще всего являются линейка и циркуль. Решение задачи состоит не столько в построении фигуры, сколько в решении вопроса о том, как это сделать, и соответствующем доказательстве. Задача считается решённой, если указан способ построения фигуры и доказано, что в результате выполнения указанных построений действительно получается фигура с требуемыми свойствами.

С помощью линейки, как инструмента геометрических построений, можно провести произвольную прямую; произвольную прямую, проходящую через данную точку; прямую, проходящую через две данные точки. Никаких других операций выполнить линейкой нельзя. В частности, нельзя откладывать линейкой отрезки, даже если на ней имеются деления.

Циркуль, как инструмент геометрических построений, позволяет описать из данного центра окружность определенного радиуса. Циркулем также можно отложить определенный отрезок на данной прямой от заданной точки.

Геометрическим местом точек называется фигура, которая состоит из всех точек плоскости, обладающих определённым свойством.

Например, окружность можно определить как геометрическое место точек плоскости, равноудалённых от данной точки.

Сущность метода геометрических мест, используемого при решении задач, состоит в следующем. Пусть, решая задачу, нам надо найти точку X, удовлетворяющую двум условиям. Геометрическое место точек, удовлетворяющих первому условию, есть некоторая фигура F1, а геометрическое место точек, удовлетворяющих второму условию, есть некоторая фигура F2. Искомая точка X принадлежит F1 и F2 т. е. является их точкой пересечения. Если эти геометрические места простые (скажем, состоят из прямых и окружностей), то мы можем их построить и найти интересующую нас точку X.

Ломаной А1А2А3...An называется фигура, которая состоит из точек А1, А2 ..., An и соединяющих их отрезков А1A2, A2A3, ..., An-1, Aп. ТочкиА1, А2..., Аn называются вершинами ломаной, а отрезки A142, A2A3 ..., An-1, An – звеньями ломаной. Ломаная называется простой, если она не имеет самопересечений (рис. 38).

Геометрия: Планиметрия в тезисах и решениях. 9 класс

Рис. 38.


А1A2A3A4 – простая ломаная из трёх звеньев.

Ломаная называется замкнутой, если у неё концы совпадают. Простая замкнутая ломаная называется многоугольником, если её соседние звенья не лежат на одной прямой. Вершины ломаной называются вершинами многоугольника, а звенья ломаной – сторонами многоугольника. Отрезки, соединяющие несоседние вершины многоугольника, называются диагоналями. Многоугольник с n-вершинами, а значит, и с n-сторонами называется n-угольником.

Плоским многоугольником и многоугольной областью называется конечная часть плоскости, ограниченная многоугольником.

Многоугольник называется выпуклым, если он лежит в одной полуплоскости относительно любой прямой, содержащей его сторону (рис. 39). Многоугольник называется невыпуклым, если он оказывается лежащим по обе стороны прямой, содержащей любую его сторону (рис. 40).

Геометрия: Планиметрия в тезисах и решениях. 9 класс

Рис. 39.

Геометрия: Планиметрия в тезисах и решениях. 9 класс

Рис. 40.


Выпуклый многоугольник называют правильным, если у него все стороны равны и все углы равны.

Многоугольник называется вписанным в окружность, если все его вершины лежат на некоторой окружности. Многоугольник называется описанным около окружности, если все его стороны касаются некоторой окружности.



Вершины многоугольника называются соседними, если они являются концами одной из его сторон. Вершины, не являющиеся соседними, называются противолежащими. Отрезки, соединяющие противолежащие вершины многоугольника, называются диагоналями.

Стороны многоугольника, исходящие из одной вершины, называются соседними сторонами. Стороны, не имеющие общего конца, называются противолежащими сторонами.

Параллелограмм – это четырёхугольник, у которого противолежащие стороны параллельны, т. е. лежат на параллельных прямых (рис. 41).

Геометрия: Планиметрия в тезисах и решениях. 9 класс

Рис. 41.


ABCD – параллелограмм, т. к. ВС||AD и АВ||CD.

Прямоугольник – это параллелограмм, у которого все углы прямые (рис. 42).

Геометрия: Планиметрия в тезисах и решениях. 9 класс

Рис. 42.


ABCD – прямоугольник, т. к. ?А = ?В = ?С = ?D = 90°.

Ромб – это параллелограмм, у которого все стороны равны (рис. 43).

Геометрия: Планиметрия в тезисах и решениях. 9 класс

Рис. 43.


ABCD – ромб, т. к. AD||ВС и АВ||DC и AB = BC = CD = AD.

Квадрат – это прямоугольник, у которого все стороны равны. Можно также сказать, что квадрат – это ромб, у которого все углы прямые (рис. 44).

Геометрия: Планиметрия в тезисах и решениях. 9 класс

Рис. 44.


ABCD – квадрат, т. к. ?А = ?В = ?С = ?D = 90° и АВ = ВС = CD = DA.

Трапецией называется четырёхугольник, у которого только две противолежащие стороны параллельны. Эти параллельные стороны называются основаниями трапеции. Две другие стороны называются боковыми сторонами (рис. 45).

Геометрия: Планиметрия в тезисах и решениях. 9 класс

Рис. 45.


ABCD и А' В' С' D' – трапеции, т. к. BC||AD, BC||AD.

Трапеция, у которой боковые стороны равны, называется раенобокой (рис. 46).

Геометрия: Планиметрия в тезисах и решениях. 9 класс

Рис. 46.


ABCD – равнобедренная трапеция (АВ = CD).

Отрезок, соединяющий середины боковых сторон, называется средней линией трапеции (рис. 47).

Геометрия: Планиметрия в тезисах и решениях. 9 класс

Рис. 47.


EF – средняя линия трапеции ABCD: AE = EB, DF = FC.

Пусть ВА – перпендикуляр, опущенный из точки В на прямую а, и С – любая точка прямой а, отличная от А. Отрезок ВС называется наклонной, проведённой из точки В к прямой а. Точка С называется основанием наклонной. Отрезок АС называется проекцией наклонной (рис. 48).

Геометрия: Планиметрия в тезисах и решениях. 9 класс

Рис. 48.


ВА – перпендикуляр к прямой а, ВС – наклонная.

Проведём на плоскости через точку О две взаимно перпендикулярные прямые х и у – оси координат. Ось х (она обычно горизонтальная) называется осью абсцисс, а ось у – осью ординат. Точкой пересечения О – началом координат – каждая из осей разбивается на две полуоси. Условимся одну из полуосей каждой оси называть положительной, отмечая её стрелкой, а другую – отрицательной.

Каждой точке А плоскости мы сопоставим пару чисел – координаты точки – абсциссу х и ординату у по следующему правилу.

Через точку А проведём прямую, параллельную оси ординат. Она пересечёт ось абсцисс х в некоторой точке Аx. Абсциссой точки А мы будем называть число х, абсолютная величина которого равна расстоянию от точки О до точки Аx. Это число будет положительным, если Аx принадлежит положительной полуоси и отрицательным, если А принадлежит отрицательной полуоси. Если точка А лежит на оси ординат y, то полагаем х равным нулю.

Ордината j точки А определяется аналогично. Через точку А проведём прямую, параллельную оси абсцисс х. Она пересечёт ось ординату в некоторой точке Аy. Ординатой точки А мы будем называть число у, абсолютная величина которого равна расстоянию от точки О до точки Аy. Это число будет положительным, если Аy принадлежит положительной полуоси, и отрицательным, если А принадлежит отрицательной полуоси. Если точка А лежит на оси абсцисс х, то полагаем у равным нулю.

Координаты точки записывают в скобках рядом с буквенным обозначением точки, например: А(х; у) (на первом месте абсцисса, на втором – ордината) (рис. 49).

Геометрия: Планиметрия в тезисах и решениях. 9 класс

Рис. 49.


Уравнением фигуры в декартовых координатах на плоскости называется уравнение с двумя неизвестными х и у, которому удовлетворяют координаты любой точки фигуры.

Например, уравнение прямой у = kx + b, где k – тангенс угла наклона прямой к оси Ох (рис. 50).

Геометрия: Планиметрия в тезисах и решениях. 9 класс

Рис. 50.


Если каждую точку данной фигуры сместить каким-нибудь образом, то мы получим новую фигуру. Говорят, что эта фигура получена преобразованием из данной. Симметрия относительно точки, симметрия относительно прямой, поворот, параллельный перенос – виды движений.

Два отрезка называют одинаково направленными, или сонаправленными, если они совмещаются параллельным переносом.

Векторы АВ и CD называют одинаково направленными, если отрезки АВ и CD одинаково направлены. Векторы АВ и CD называют противоположно направленными, если отрезки АВ и CD противоположно направлены. Первая буква в обозначении вектора является его началом, а вторая буква – его концом. Например, у вектора АВ точка А – начало вектора, а точка В – его конец (рис. 51).

Геометрия: Планиметрия в тезисах и решениях. 9 класс

Рис. 51.


Абсолютной величиной (или модулем) вектора называется длина отрезка, изображающего вектор. Обозначают модуль вектора (на пример, АВ) следующим образом:|АВ|. Очевидно, что |AB| = AB, где АВ – это длина отрезка АВ.

Начало вектора может совпадать с его концом. Такой вектор будем называть нулевым вектором.

Два вектора называются равными, если они совмещаются параллельным переносом. Это означает, что существует параллельный перенос, который переводит начало и конец одного вектора соответственно в начало и конец другого вектора (рис. 52).

Геометрия: Планиметрия в тезисах и решениях. 9 класс

Рис. 52.


Пусть вектор а имеет началом точку А1(х1; у1), а концом точку А2(х2; у2). Координатами вектора а будем называть числа a1 = x2 – x1, a2 = y2 – y1.

Суммой векторов а и b с координатами а1, а2 и BL, b2 называется вектор с с координатами a1 + BL, a2 + b2.

Разностью векторов а (a1; a2) и b (BL; b2) называется такой вектор с (с1; с2), который в сумме с вектором b даёт вектор а, т. е. b + с = а. Отсюда находим координаты вектора с = а – b: с1 = а1 – BL: с2 = а2 – b2.

Удобно производить разложение вектора по двум перпендикулярным осям. В этом случае составляющие вектора называются проекциями вектора на оси.

Произведением вектора а (a1; a2) на число k называется вектор с координатами (kа1; kа2).

Два вектора а и b называются коллинеарными (параллельными), если существует такое число k ? 0, что вектор а есть kb.

Разложить вектор а по векторам b и с – значит найти такие числа n, m, что а = nb + mc.

Скалярным произведением векторов а (a1; a2) и b (BL; b2) называют число a1BL + a2b2.

Углом между ненулевыми векторами АВ и АС называется угол ВАС. Углом между любыми двумя ненулевыми векторами а и b называется угол между равными им векторами с общим началом. Угол между одинаково направленными векторами считается равным нулю.

Если векторы перпендикулярны, то их скалярное произведение равно нулю. И обратно: если скалярное произведение отличных от нуля векторов равно нулю, то векторы перпендикулярны.

Вектор называется единичным, если его абсолютная величина равна единице. Единичные векторы, имеющие направления положительных координатных полуосей, называют координатными векторами или ортами.

Преобразование фигуры F в фигуру F1 называется преобразованием подобия, если при этом преобразовании расстояния между точками изменяются в одно и то же число раз. Это значит, что если произвольные точки X, Y фигуры F при преобразовании подобия переходят в точки X1, Y1 фигуры F1, то X1Y1 = k ? ХУ, причём число k – одно и то же для всех точек X, Y. Число k называется коэффициентом подобия. При k = 1 преобразование подобия, очевидно, является движением.

Пусть F – данная фигура и О – фиксированная точка. Проведём через произвольную точку X фигуры F отрезок ОХ и отложим на нём отрезок ОХ1 равный k ? ОХ, где k – положительное число. Преобразование фигуры F, при котором каждая её точка X переходит в точку X1 построенную указанным способом, называется гомотетией относительно центра О. Число k называется коэффициентом гомотетии, фигуры F и F1 называют гомотетичными.

На рис. 53 ?АВС и ?A1В1С1 – гомотетичны.

Геометрия: Планиметрия в тезисах и решениях. 9 класс

Рис. 53.


Две фигуры называются подобными, если они переводятся друг в друга преобразованием подобия.

Угол разбивает плоскость на две части. Каждая из частей называется плоским углом. Плоские углы с общими сторонами называются дополнительными.

Центральным углом в окружности называется плоский угол с вершиной в её центре. Часть окружности, расположенная внутри плоского угла, называется дугой окружности, соответствующей этому центральному углу. Градусной мерой дуги окружности называется градусная мера соответствующего центрального угла (рис. 54).

?АОВ (угол ?) – центральный.

Геометрия: Планиметрия в тезисах и решениях. 9 класс

Рис. 54.


Угол, вершина которого лежит на окружности, а стороны пересекают эту окружность, называется вписанным в окружность (рис. 55).

Геометрия: Планиметрия в тезисах и решениях. 9 класс

Рис. 55.


?АСВ (угол ?) – вписанный.

Геометрическую фигуру будем называть простой, если её можно разбить на конечное число плоских треугольников. Напомним, что плоским треугольником мы называем конечную часть плоскости, ограниченную треугольником.

Дадим определение площади для простых фигур.

Для простых фигур площадь – это положительная величина, численное значение которой обладает следующими свойствами:

1. Равные фигуры имеют равные площади.

2. Если фигура разбивается на части, являющиеся простыми фигурами, то площадь этой фигуры равна сумме площадей её частей.

3. Площадь квадрата со стороной, равной единице, равна единице.

2.2. Вопросы для самопроверки

1. Как принято обозначать точки и прямые на чертеже или в тексте? (1)

2. Что такое отрезок? Нарисуйте произвольный отрезок и отметьте его концы. Как принято обозначать отрезок? (1)

3. Что такое полуплоскость? (1)

4. Что такое луч? Как принято обозначать луч? (1)

5. Какие лучи называются дополнительными? (1)

6. Что такое угол? Как принято обозначать угол? Нарисуйте произвольный угол и укажите его вершину и стороны. (1)

7. Какой угол называется развёрнутым? (1)

8. Как Вы понимаете фразу: «Луч проходит между сторонами данного угла»? (1)

9. В чём измеряют углы? Каковы градусная и радианная мера развёрнутого угла? (1)

10. Какие углы называют смежными? Чему равна сумма смежных углов? (1)

11. Какой угол называется: а) прямым; б) острым; в) тупым? (1)

12. Какие углы называются вертикальными? (1)

13. Какие прямые называются перпендикулярными? Как обозначается перпендикулярность прямых? (1)

14. Что называют перпендикуляром к прямой? Сделайте соответствующий рисунок и покажите основание перпендикуляра. (1)

15. Дайте определение биссектрисы угла. (1)

16. Какая прямая называется секущей по отношению к двум другим? (1)

17. Нарисуйте две прямые и третью – секущую по отношению к первым двум. Покажите на рисунке пары: а) внутренних односторонних; б) внутренних накрест лежащих; в) соответственных углов. (1)

18. Какие прямые называются параллельными? Как обозначается параллельность прямых? (1)

19. Что такое треугольник? Нарисуйте произвольный треугольник и укажите его вершины, стороны и углы. (1)

20. Какие фигуры называются равными? (1)

21. Какой треугольник называется равнобедренным? Нарисуйте равнобедренный треугольник, укажите его основание и боковые стороны. (1)

22. Какой треугольник называется равносторонним? (1)

23. Что такое высота треугольника? Нарисуйте прямоугольный и тупоугольный треугольники и проведите «на глазок» в каждом из них все высоты. (1)

24. Что такое биссектриса треугольника? (1)

25. Что такое медиана треугольника? (1)

26. Что такое внешний угол треугольника? (1)

27. Какой треугольник называется:

а) прямоугольным; б) остроугольным; в) тупоугольным? (1)

28. Что такое гипотенуза и катет? (1)

29. Что называют средней линией треугольника? (1)

30. Какой треугольник называется египетским? Приведите пример такого треугольника. (1)

31. Что такое окружность? (1)

32. Что такое круг? (1)

33. Что такое радиус окружности (круга)? (1)

34. Что такое хорда? (1)

35. Что такое дуга окружности? (1)

36. Что такое диаметр окружности (круга)? (1)

37. Что такое сектор круга? (1)

38. Что такое сегмент круга? (1)

39. Что такое серединный перпендикуляр к отрезку? (1)

40. Какая окружность называется описанной около треугольника? (1)

41. Какая окружность называется вписанной в треугольник? (1)

42. Что такое касательная к окружности? (1)

43. Как вы понимаете высказывания: «внутреннее касание окружностей», «внешнее касание окружностей»? (1)

44. Что такое общая касательная к окружностям? (1)

45. В каких случаях две окружности имеют: а) одну; б) две; в) три; r) четыре общих касательных? (2)

46. Что означает решить задачу на построение с помощью циркуля и линейки? (1)

47. Какой смысл вкладывается в следующие этапы решения задач на построение: анализ, построение, доказательство, исследование? (2)

48. Как вы понимаете термин «геометрическое место точек»? (1)

49. В чём состоит сущность метода геометрических мест, используемого при решении задач на построение? (2)

50. Что такое ломаная? (1)

51. Какая ломаная называется замкнутой? (1)

52. Дайте определение многоугольника (на плоскости). Нарисуйте произвольный пятиугольник, отметьте его вершины и проведите в нём все диагонали. (1)

53. Какой многоугольник называется выпуклым? (1)

54. Какой многоугольник называется правильным? (1)

55. Какой многоугольник называется: вписанным в окружность; описанным около окружности? (1)

56. Что называют периметром многоугольника? (1)

57. Дайте определение параллелограмма. (1)

58. Дайте определение прямоугольника. (1)

59. Дайте определение ромба. (1)

60. Дайте различные определения квадрата. (1)

61. Дайте определение трапеции. Какие стороны трапеции называются основаниями, какие – боковыми сторонами? (1)

62. Какая трапеция называется равнобокой? (1)

63. Что называют средней линией трапеции? (1)

64. Что называют наклонной, проведённой из точки, не лежащей на прямой, на эту прямую? Что называют проекцией этой наклонной? (1)

65. Как на плоскости вводится декартова система координат? (1)

66. Что такое абсцисса и ордината точки? (1)

67. Что называют уравнением фигуры? (1)

68. Какой геометрический смысл имеет число k в уравнении прямой у = kx + в?(1)

69. Что такое движение? (1)

70. Назовите виды движений на плоскости. Покажите на конкретных примерах, как построить образы фигур при данных видах движений. (1)

71. Какие два луча называются сонаправленными и противоположно направленными? (1)

72. Что такое вектор? Как обозначать вектор? (1)

73. Какие два вектора называются одинаково направленными и противоположно направленными? (1)

74. Что такое абсолютная величина (модуль) вектора? (1)

75. Какой вектор называют нулевым? (1)

76. Какие два вектора назьшают равными? (1)

77. Как вводятся координаты вектора через координаты его начала и конца? (1)

78. Что называют суммой векторов? Нарисуйте два произвольных вектора и покажите их сумму. (1)

79. Что назьшают разностью векторов? Нарисуйте два произвольных вектора и покажите их разность. (1)

80. Что называют проекцией вектора на ось? Покажите на рисунке. (1)

81. Что называют произведением вектора на число? Нарисуйте произвольный вектор а, а также b = 2а и с = -1/2а (1)

82. Что значит разложить вектор а по векторам b и с? (1)

83. Дайте определение скалярного произведения векторов. (1)

84. Что называют углом между векторами? Чем отличается угол между векторами от угла между прямыми? (1)

85. В каком случае скалярное произведение векторов равно нулю? (1)

86. Дайте определение координатного вектора (орта). (1)

87. Какое преобразование называется преобразованием подобия? (1)

88. Что такое гомотетия? (1)

89. Какие фигуры называются подобными? Как обозначать подобие фигур? (1)

90. Что называют центральным углом в окружности? (1)

91. Как определить градусную меру дуги окружности? (1)

92. Какой угол называется вписанным в окружность? (1)

93. Как в курсе геометрии вводится понятие площади? (2)

2.3. Темы для сообщений и рефератов

1. Замечательные точки в треугольнике. (1)

2. Вневписанные окружности. (1–2)

3. Радикальная ось и радикальный центр окружностей. Пучки окружностей. (3)

4. Полярное соответствие. Принцип двойственности в геометрии. (3)

5. Отображения и преобразования множеств. Композиция преобразований. Аффинные преобразования плоскости. (3)

6. Инверсия плоскости относительно окружности. (3)

7. Понятие длины. Расстояние между фигурами. (2)

§ 3. Важнейшие теоремы и формулы школьного курса планиметрии

3.1. Справочная информация

Приведём без доказательства основные теоремы планиметрии.

Доказательства желательно изучать по вашему учебнику. Опасно изучать доказательство теорем по разным учебным пособиям – можно в погоне за простотой попасться на капкане «порочного круга». Приведём простой пример. Нужно доказать признаки параллельных прямых (если при пересечении двух прямых третьей сумма образовавшихся внутренних односторонних углов равна 180°, то прямые параллельны).

На рис. 56:m, n, a – прямые. Точка А – точка пересечения прямых m и а, В – точка пересечения прямых n и а.

Геометрия: Планиметрия в тезисах и решениях. 9 класс

Рис. 56.


Ученик привёл простое доказательство: если бы прямые m и n пересекались в некоторой точке С, то тогда из того, что сумма углов в треугольнике АСВ равна 180°, следует, что ?АСВ = 0°, что невозможно. Значит, прямые m и n параллельны.

Но тут же ученику предложили доказать, что сумма углов в треугольнике равна 180°. Учащийся сослался на свойства параллельных прямых. Но сами свойства параллельных прямых он стал доказывать на основе признаков параллельности прямых. Круг замкнулся. Поэтому в повторении теории будьте последовательны и внимательны. При чтении доказательства теоремы особое внимание обращайте на то, где в доказательстве использованы условия теоремы, какие ранее доказанные теоремы при этом использовались.



В настоящем параграфе формулировки теорем приведены по учебнику А. В. Погорелова «Геометрия. 7–9 классы».

Основные теоремы планиметрии и следствия из них

1. Теоремы о прямых (параллельность и перпендикулярность на плоскости)

Свойства параллельных прямых.

Две прямые, параллельные третьей, параллельны (рис. 57).

(а||с, b||с) ? а||b.

Геометрия: Планиметрия в тезисах и решениях. 9 класс

Рис. 57.


Если две параллельные прямые пересечены третьей прямой, то внутренние накрест лежащие углы равны, а сумма внутренних односторонних углов равна 180° (рис. 58).

а||b ? ? = ?

? + ? = 180°.

Геометрия: Планиметрия в тезисах и решениях. 9 класс

Рис. 58.


Признаки параллельности прямых.

Если при пересечении двух прямых третьей образующиеся внутренние накрест лежащие углы равны, то прямые параллельны (рис. 59):

внутренние накрест лежащие углы равны ? а||b.

Геометрия: Планиметрия в тезисах и решениях. 9 класс

Рис. 59.


Если при пересечении двух прямых третьей сумма образовавшихся внутренних односторонних углов равна 180°, то прямые параллельны (рис. 60):

а||b.

Геометрия: Планиметрия в тезисах и решениях. 9 класс

Рис. 60.


Если при пересечении двух прямых третьей образующиеся соответственные углы равны, то прямые параллельны (рис. 61):

а||b.

Геометрия: Планиметрия в тезисах и решениях. 9 класс

Рис. 61.


Теоремы о существовании и единственности перпендикуляра к прямой. Через каждую точку прямой можно провести перпендикулярную ей прямую, и только одну (рис. 62).

Геометрия: Планиметрия в тезисах и решениях. 9 класс

Рис. 62.


Прямая b – единственная прямая, проходящая через точку А перпендикулярно а.

Из любой точки, не лежащей на данной прямой, можно опустить на эту прямую перпендикуляр, и только один (рис. 63).

Геометрия: Планиметрия в тезисах и решениях. 9 класс

Рис. 63.


Прямая b – единственная прямая, проходящая через точку А перпендикулярно а.


Связь между параллельностью и перпендикулярностью.

Две прямые, перпендикулярные третьей, параллельны (рис. 64).

(а ? с, b ? с) ? а||b.

Геометрия: Планиметрия в тезисах и решениях. 9 класс

Рис. 64.


Если прямая перпендикулярна одной из параллельных прямых, то она перпендикулярна и другой (рис. 65):

(а ? b, b||с) ? а ? с.

Геометрия: Планиметрия в тезисах и решениях. 9 класс

Рис. 65.

2 Теоремы об углах. Углы в треугольнике. Вписанные в окружность углы

Свойство вертикальных углов.

Вертикальные углы равны (рис. 66):

? = ?.

Геометрия: Планиметрия в тезисах и решениях. 9 класс

Рис. 66.


Свойство углов равнобедренного треугольника. В равнобедренном треугольнике углы при основании равны. Верна и обратная теорема: если в треугольнике два угла равны, то он равнобедренный (рис. 67):

АВ = ВС ? ?А = ?С.

Геометрия: Планиметрия в тезисах и решениях. 9 класс

Рис. 67.


Теорема о сумме углов в треугольнике.

Сумма внутренних углов треугольника равна 180° (рис. 68):

? + ? + ? = 180°.

Геометрия: Планиметрия в тезисах и решениях. 9 класс

Рис. 68.


Теорема о сумме углов в выпуклом n-угольнике.

Сумма углов выпуклого n-угольника равна 180°?(n – 2) (рис. 69).

Геометрия: Планиметрия в тезисах и решениях. 9 класс

Рис. 69.


Пример:?1 + ?2 + ?3 + ?4 + ?5 = 180°?(5–2) = 540°.


Теорема о внешнем угле треугольника.

Внешний угол треугольника равен сумме двух внутренних углов, не смежных с ним (рис. 70):

? = ? + ?.

Геометрия: Планиметрия в тезисах и решениях. 9 класс

Рис. 70.


Теорема о величине вписанного в окружность угла.

Угол, вписанный в окружность, равен половине соответствующего q центрального угла (рис. 71):

Геометрия: Планиметрия в тезисах и решениях. 9 класс
Геометрия: Планиметрия в тезисах и решениях. 9 класс

Рис. 71.

3. Основные теоремы о треугольнике

Признаки равенства треугольников. Если две стороны и угол между ними одного треугольника равны соответственно двум сторонам и углу между ними другого треугольника, то такие треугольники равны (рис. 72).

Геометрия: Планиметрия в тезисах и решениях. 9 класс

Рис. 72.


?ABC = ?A1B1C1 т. к. АB = А1В1, АС = А1С1 и ?A = ?A1.

Если сторона и прилежащие к ней углы одного треугольника равны соответственно стороне и прилежащим к ней углам другого треугольника, то такие треугольники равны (рис. 73).

Геометрия: Планиметрия в тезисах и решениях. 9 класс

Рис. 73.


?ABC = ?A1B1C1 т. к. АC = А1C1, ?A = ?A1, ?C = ?C1.


Если три стороны одного треугольника равны соответственно трем сторонам другого треугольника, то такие треугольники равны (рис. 74).

Геометрия: Планиметрия в тезисах и решениях. 9 класс

Рис. 74.


?ABC = ?A1B1C1 т. к. АB = А1B1, АC = А1C1, BC = B1C1.


Признаки равенства прямоугольных треугольников.

Если гипотенуза и катет одного треугольника соответственно равны гипотенузе и катету другого треугольника, то такие треугольники равны (рис. 75).

Геометрия: Планиметрия в тезисах и решениях. 9 класс

Рис. 75.


?ABC = ?A1B1C1 т. к. ?А = ?А1 = 90°; BC = B1C1; AB = A1B1.

Если гипотенуза и острый угол одного треугольника соответственно равны гипотенузе и острому углу другого треугольника, то такие треугольники равны (рис. 76).

Геометрия: Планиметрия в тезисах и решениях. 9 класс

Рис. 76.


?АВС = ?А1В1С1, т. к. АВ = А1В1, ?А = ?A1 a ?С = ?С1 = 90°.


Свойство медианы равнобедренного треугольника.

В равнобедренном треугольнике медиана, проведённая к основанию, является биссектрисой и высотой (рис. 77).

Геометрия: Планиметрия в тезисах и решениях. 9 класс

Рис. 77.


(АВ = ВС, АМ = МС) ? (?АВМ = ?МВС, ?АМВ = ?ВМС = 90°).


Свойство средней линии треугольника.

Средняя линия треугольника, соединяющая середины двух данных сторон, параллельна третьей стороне и равна её половине (рис. 78).

Геометрия: Планиметрия в тезисах и решениях. 9 класс

Рис. 78.


EF||AC, EF = 1/2АС, т. к. АЕ = ЕВ и BF = FC.


Теорема синусов.

Стороны треугольника пропорциональны синусам противолежащих углов (рис. 79).

Геометрия: Планиметрия в тезисах и решениях. 9 класс

Рис. 79.

Геометрия: Планиметрия в тезисах и решениях. 9 класс

Теорема косинусов.

Квадрат любой стороны треугольника равен сумме квадратов двух других сторон без удвоенного произведения этих сторон на косинус угла между ними (рис. 80).

Геометрия: Планиметрия в тезисах и решениях. 9 класс

Рис. 80.


а2= b2+ с2– 2bc cos ?.

Теорема Пифагора (частный случай теоремы косинусов).

В прямоугольном треугольнике квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов (рис. 81).

Геометрия: Планиметрия в тезисах и решениях. 9 класс

Рис. 81.


с2= а2+ b2.

4. Пропорциональность и подобие на плоскости

Теорема Фалеса.

Если параллельные прямые, пересекающие стороны угла, отсекают на одной его стороне равные отрезки, то они отсекают равные отрезки и на другой его стороне (рис. 82).

Геометрия: Планиметрия в тезисах и решениях. 9 класс

Рис. 82.


(АВ = BC, AA1||BB1||CC1) ? A1B1 = В1С1, q и р – лучи, образующие угол ?.

а, b, с – прямые, пересекающие стороны угла.


Теорема о пропорциональных отрезках (обобщение теоремы Фалеса).

Параллельные прямые, пересекающие стороны угла, отсекают от сторон угла пропорциональные отрезки (рис. 83).

Геометрия: Планиметрия в тезисах и решениях. 9 класс

Рис. 83.

Геометрия: Планиметрия в тезисах и решениях. 9 класс

или

Геометрия: Планиметрия в тезисах и решениях. 9 класс

Свойство биссектрисы треугольника.

Биссектриса угла треугольника делит противолежащую ему сторону на отрезки, пропорциональные двум другим сторонам (рис. 84).

Геометрия: Планиметрия в тезисах и решениях. 9 класс

Рис. 84.


Если ? = ?, то

Геометрия: Планиметрия в тезисах и решениях. 9 класс

или

Геометрия: Планиметрия в тезисах и решениях. 9 класс

Признаки подобия треугольников.

Если два угла одного треугольника равны двум углам другого треугольника, то такие треугольники подобны (рис. 85).

Геометрия: Планиметрия в тезисах и решениях. 9 класс

Рис. 85.


Треугольники ABC и A1B1C1 – подобные, т. к. ? = ?1 и ? = ?1.

Если две стороны одного треугольника пропорциональны двум сторонам другого треугольника, и углы, образованные этими сторонами, равны, то треугольники подобны (рис. 86).

Геометрия: Планиметрия в тезисах и решениях. 9 класс

Рис. 86.


Треугольники ABC и A1B1C1 – подобны, т. к.

Геометрия: Планиметрия в тезисах и решениях. 9 класс

и ? = ?1.

Если стороны одного треугольника пропорциональны сторонам другого треугольника, то такие треугольники подобны (рис. 87).

Геометрия: Планиметрия в тезисах и решениях. 9 класс

Рис. 87.


Треугольники ABC и A1B1C1 – подобны, т. к

Геометрия: Планиметрия в тезисах и решениях. 9 класс

5. Основные геометрические неравенства

Соотношение длин наклонной и перпендикуляра.

Если к прямой из одной точки проведены перпендикуляр и наклонные, то любая наклонная больше перпендикуляра, равные наклонные имеют равные проекции, из двух наклонных больше та, у которой проекция больше (рис. 88):

АА' < АВ < АС; если А'С > А'В, то АС > АВ.

Геометрия: Планиметрия в тезисах и решениях. 9 класс

Рис. 88.


Неравенство треугольника.

Каковы бы ни были три точки, расстояние между любыми двумя из этих точек не больше суммы расстояний от них до третьей точки. Отсюда следует, что в любом треугольнике каждая сторона меньше суммы двух других сторон (рис. 89):

АС < АВ + ВС.

Геометрия: Планиметрия в тезисах и решениях. 9 класс

Рис. 89.


Связь между величинами сторон и величинами углов в треугольнике.

В треугольнике против большего угла лежит большая сторона, против большей стороны лежит больший угол (рис. 90).

(BC < AB < AC) ? (?А < ?С < ?В).

Геометрия: Планиметрия в тезисах и решениях. 9 класс

Рис. 90.

6. Основные геометрические места точек на плоскости

Геометрическим местом точек плоскости, равноудалённых от сторон угла, будет биссектриса данного угла (рис. 91).

Геометрия: Планиметрия в тезисах и решениях. 9 класс

Рис. 91.


АК = AT, где А – любая точка на биссектрисе.

Геометрическим местом точек, равноудалённых от двух данных точек, будет прямая, перпендикулярная к отрезку, соединяющему эти точки, и проходящая через его середину (рис. 92).

Геометрия: Планиметрия в тезисах и решениях. 9 класс

Рис. 92.


MA = MB, где М – произвольная точка на серединном перпендикуляре отрезка АВ.

Геометрическим местом точек плоскости, равноудалённых от заданной точки, будет окружность с центром в этой точке (рис. 93).

Геометрия: Планиметрия в тезисах и решениях. 9 класс

Рис. 93.


Точка О равноудалена от точек окружности.


Местоположение центра окружности, описанной около треугольника.

Центр окружности, описанной около треугольника, является точкой пересечения перпендикуляров к сторонам треугольника, проведённых через середины этих сторон (рис. 94).

Геометрия: Планиметрия в тезисах и решениях. 9 класс

Рис. 94.


А, В, С – вершины треугольника, лежащие на окружности.

АМ = МВ и АК = КС.

Точки М и К – основания перпендикуляров к сторонам АВ и АС соответственно.


Местоположение центра окружности, вписанной в треугольник.

Центр окружности, вписанной в треугольник, является точкой пересечения его биссектрис (рис. 95).

Геометрия: Планиметрия в тезисах и решениях. 9 класс

Рис. 95.


В ?ABC отрезки AT и СК являются биссектрисами.

7. Теоремы о четырёхугольниках

Свойства параллелограмма.

У параллелограмма противолежащие стороны равны. У параллелограмма противолежащие углы равны.

Диагонали параллелограмма пересекаются и точкой пересечения делятся пополам (рис. 96).

Геометрия: Планиметрия в тезисах и решениях. 9 класс

Рис. 96.


АВ = CD, ВС = AD, ?BAD = ?BCD, ?АВС = ?ADC, AO = OC, BO = OD.


Признаки параллелограмма.

Если у четырёхугольника две стороны параллельны и равны, то он является параллелограммом (рис. 97).

Геометрия: Планиметрия в тезисах и решениях. 9 класс

Рис. 97.


ВС||AD, ВС = AD ? ABCD – параллелограмм.


Если диагонали четырёхугольника пересекаются и точкой пересечения делятся пополам, то этот четырёхугольник – параллелограмм (рис. 98).

Геометрия: Планиметрия в тезисах и решениях. 9 класс

Рис. 98.


АО = ОС, ВО = OD ? ABCD – параллелограмм.


Свойства прямоугольника.

Для прямоугольника характерны все свойства параллелограмма (у прямоугольника противолежащие стороны равны; у прямоугольника противолежащие углы равны (90°); диагонали прямоугольника пересекаются и точкой пересечения делятся пополам).

Диагонали прямоугольника равны (рис. 99):

АС = BD.

Геометрия: Планиметрия в тезисах и решениях. 9 класс

Рис. 99.


Признак прямоугольника.

Если у параллелограмма все углы равны, то он является прямоугольником.


Свойства ромба.

Для ромба характерны все свойства параллелограмма (у ромба противолежащие стороны равны – вообще все стороны по определению равны; у ромба противолежащие углы равны; диагонали ромба пересекаются и точкой пересечения делятся пополам).

Диагонали ромба пересекаются под прямым углом.

Диагонали ромба являются биссектрисами его углов (рис. 100).

Геометрия: Планиметрия в тезисах и решениях. 9 класс

Рис. 100.


AC ? BD, ?ABD = ?DВС = ?CDB = ?BDA, ?ВАС = ?CAD = ?ВСА = ?DCA.


Признак ромба.

Если у параллелограмма диагонали перпендикулярны, то он является ромбом.


Свойства квадрата.

Квадрат обладает свойствами прямоугольника и ромба.


Признак квадрата.

Если диагонали прямоугольника пересекаются под прямым углом, то он – квадрат.


Свойство средней линии трапеции.

Средняя линия трапеции параллельна основаниям и равна их полусумме (рис. 101).

Геометрия: Планиметрия в тезисах и решениях. 9 класс

Рис. 101.

Геометрия: Планиметрия в тезисах и решениях. 9 класс

Критерии вписанного и описанного четырехугольников.

Если около четырёхугольника можно описать окружность, то суммы его противоположных углов равны по 180° (рис. 102).

?А + ?С = ?В + ?D = 180°.

Геометрия: Планиметрия в тезисах и решениях. 9 класс

Рис. 102.


Если в четырёхугольник можно вписать окружность, то суммы его противоположных сторон равны (рис. 103).

AB + CD = AD + BC.

Геометрия: Планиметрия в тезисах и решениях. 9 класс

Рис. 103.

8. Теоремы об окружностях

Свойство хорд и секущих.

Если хорды АВ и CD окружности пересекаются в точке S, то AS ? BS = CS ? DS (рис. 104).

Геометрия: Планиметрия в тезисах и решениях. 9 класс

Рис. 104.


Если из точки S к окружности проведены две секущие, пересекающие окружность в точках А, В и С, D соответственно, то AS ? BS = CS ? DS (рис. 105).

Геометрия: Планиметрия в тезисах и решениях. 9 класс

Рис. 105.


Число ?.

Отношение длины окружности к её диаметру не зависит от радиуса окружности, то есть оно одно и то же для любых двух окружностей. Это число равно ? (рис. 106).

Геометрия: Планиметрия в тезисах и решениях. 9 класс
Геометрия: Планиметрия в тезисах и решениях. 9 класс

Рис. 106.

9. Векторы

Теорема о разложении вектора по базису.

Если на плоскости даны два неколлинеарных вектора а и b и любой другой вектор с, то существуют единственные числа n и m, такие, что с = nа + mb (рис. 107).

где

Геометрия: Планиметрия в тезисах и решениях. 9 класс
Геометрия: Планиметрия в тезисах и решениях. 9 класс

Рис. 107.


Теорема о скалярном произведении векторов.

Скалярное произведение векторов равно произведению их абсолютных q величин (длин) на косинус угла между ними (рис. 108).

ОА ? ОВ = ОА ? OB ? cos ?.

Геометрия: Планиметрия в тезисах и решениях. 9 класс

Рис. 108.

Основные формулы планиметрии

Для треугольника (рис. 109):

Геометрия: Планиметрия в тезисах и решениях. 9 класс

Рис. 109.

Геометрия: Планиметрия в тезисах и решениях. 9 класс

где a, b, с – стороны треугольника;

?, ?, ? – противолежащие им углы;

r и R – радиусы вписанной и описанной окружностей;

ha, ma, la – высота, медиана и биссектриса, проведённые к стороне а;

S – площадь треугольника;

Геометрия: Планиметрия в тезисах и решениях. 9 класс

– полупериметр треугольника.

Медианы в треугольнике делятся точкой пересечения в отношении 2:1, считая от вершины (рис. 110).

Геометрия: Планиметрия в тезисах и решениях. 9 класс

Рис. 110.

Геометрия: Планиметрия в тезисах и решениях. 9 класс

Для четырёхугольников:

Геометрия: Планиметрия в тезисах и решениях. 9 класс

где а, b – длины оснований;

h – высота трапеции.


Площадь параллелограмма со сторонами а, b и углом ? между ними вычисляется по формуле S = ab sin ?. Можно также воспользоваться формулой:

Геометрия: Планиметрия в тезисах и решениях. 9 класс

где d1, d2– длины диагоналей, ? – угол между ними (или S = aha, где ha – высота).

Для произвольного выпуклого четырёхугольника (рис. 111):

Геометрия: Планиметрия в тезисах и решениях. 9 класс
Геометрия: Планиметрия в тезисах и решениях. 9 класс

Рис. 111.


Для правильного n-угольника:

Геометрия: Планиметрия в тезисах и решениях. 9 класс

(R и r – радиусы описанной и вписанной окружностей, аn – длина стороны правильного n-угольника).

Для окружности и круга (рис. 112):

Геометрия: Планиметрия в тезисах и решениях. 9 класс

Рис. 112.

Геометрия: Планиметрия в тезисах и решениях. 9 класс
Геометрия: Планиметрия в тезисах и решениях. 9 класс

и 1\2R2?, если ? выражен в радианах.

Sсегмента = Sсектора – Sтреугольника.

Формулы аналитической планиметрии

Если даны точки A(x1; y1) и В(х2; у2), то

Геометрия: Планиметрия в тезисах и решениях. 9 класс

Уравнение прямой АВ:

Геометрия: Планиметрия в тезисах и решениях. 9 класс

легко приводится к виду ах + by + с = 0, где вектор n = (а, b) перпендикулярен прямой.

Расстояние от точки А(х1; у1) до прямой ах + by + с = 0 равно

Геометрия: Планиметрия в тезисах и решениях. 9 класс

Расстояние между параллельными прямыми ах + by + с1 = 0 и ах + by + с2 = 0 равно

Геометрия: Планиметрия в тезисах и решениях. 9 класс

Угол между прямыми а1х + BLу + с1 = 0 и а2х + b2y + с2 = 0 вычисляется по формуле:

Геометрия: Планиметрия в тезисах и решениях. 9 класс

Уравнение окружности с центром в точке O(x0, y0) и радиусом R:(x – xo)2+ (y – yo)2= R2.

3.2. Вопросы для самопроверки

1. а) Какое вы знаете свойство вертикальных углов? (1)

б) Докажите это свойство. (1)

2. а) Сформулируйте признак равенства треугольников по двум сторонам и углу между ними. (1)

б) Докажите данный признак. (1)

3. а) Сформулируйте признак равенства треугольников по стороне и двум углам. (1)

б) Докажите данный признак. (1)

4. а) Перечислите основные свойства равнобедренного треугольника. (1)

б) Докажите эти свойства. (1)

в) Докажите признак равнобедренного треугольника. (1)

5. а) Сформулируйте признак равенства треугольников по трём сторонам. (1)

б) Докажите данный признак. (1)

6. Докажите, что две прямые, параллельные третьей, параллельны. (2)

7. а) Сформулируйте признаки параллельности прямых. (1)

б) Докажите эти признаки. (1)

в) Докажите обратные теоремы. (1)

8. Докажите теорему о сумме углов треугольника. (1)

9. Докажите, что внешний угол треугольника равен сумме двух внутренних, не смежных с ним. (1)

10. а) Сформулируйте признаки равенства прямоугольных треугольников. (1)

б) Докажите признаки равенства прямоугольных треугольников по гипотенузе и катету; по гипотенузе и острому углу. (1)

11. а) Докажите, что из точки, не лежащей на данной прямой, можно опустить на эту прямую единственный перпендикуляр. (1)

б) Докажите, что через точку, лежащую на данной прямой, можно провести единственную прямую, перпендикулярную данной. (1)

12. а) Где лежит центр описанной около треугольника окружности? (1)

б) Докажите соответствующую теорему. (1)

13. а) Где лежит центр вписанной в треугольник окружности? (1)

б) Докажите соответствующую теорему. (1)

14. Докажите свойство касательной к окружности. (1)

15. а) Какие вы знаете свойства параллелограмма? (1)

б) Докажите эти свойства. (1)

16. а) Какие вы знаете признаки параллелограмма? (1)

б) Докажите эти признаки. (1)

17. а) Какие вы знаете свойства и признаки прямоугольника? (1)

б) Докажите эти свойства и признаки. (1)

18. а) Какие вы знаете свойства и признаки ромба? (1)

б) Докажите эти свойства и признаки. (1)

19. а) Какие вы знаете свойства и признаки квадрата? (1)

б) Докажите эти свойства и признаки. (1)

20. а) Сформулируйте теорему Фалеса. (1)

б) Докажите эту теорему. (1)

21. а) Сформулируйте обобщенную теорему Фалеса (теорему о пропорциональных отрезках). (1)

б) Докажите эту теорему. (2)

22. а) Какие свойства средней линии треугольника вы знаете? (1)

б) Докажите эти свойства. (1)

23. а) Какие вы знаете свойства средней линии трапеции? (1)

б) Докажите эти свойства. (1)

24. а) Сформулируйте теорему Пифагора. (1)

б) Докажите теорему Пифагора. (1)

в) Сформулируйте и докажите обратную теорему. (2)

25. Докажите, что любая наклонная больше перпендикуляра, и что из двух наклонных больше та, у которой больше проекция. (1)

26. а) Сформулируйте неравенство треугольника. (1)

б) Докажите неравенство треугольника. (2)

27. Даны координаты точек A(х1; у1) и В(х2; у2).

а) По какой формуле вычисляется длина отрезка AB? (1)

б) Выведите эту формулу. (1)

28. Выведите уравнение окружности с центром в точке А(х0; у0) и радиусом R. (1)

29. Докажите, что любая прямая в декартовых координатах х, у имеет уравнение вида ах + by + с = 0. (2)

30. Напишите уравнение прямой, проходящей через точки А(х1; у1) и В(х2; у2). Ответ: обоснуйте. (2)

31. Докажите, что в уравнении прямой у = kx + b число k есть тангенс угла наклона прямой к положительному направлению оси абсцисс. (2)

32. а) Какие вы знаете основные свойства движений? (2)

б) Докажите эти свойства. (3)

33. Докажите, что:

а) преобразование симметрии относительно точки является движением; (3)

б) преобразование симметрии относительно прямой является движением; (3)

в) параллельный перенос есть движение. (3)

34. Докажите теорему о существовании и единственности параллельного переноса. (3)

35. Докажите, что абсолютная величина вектора kа равна |к| ? |а|, при этом направление вектора kа при а ? О совпадает с направлением вектора а, если k > 0, и противоположно направлению вектора а, если к < 0. (1)

36. Докажите, что любой вектор а можно разложить по векторам b и с (все три вектора лежат на одной плоскости). (1)

37. Даны векторы а = (а1; а2) и b = (BL; b2). Докажите, что

Геометрия: Планиметрия в тезисах и решениях. 9 класс

где ? – угол между векторами.

38. а) Какие вы знаете свойства скалярного произведения векторов? (1)

б) Докажите эти свойства. (2)

39. Докажите, что гомотетия есть преобразование подобия. (1)

40. а) Какие вы знаете свойства преобразования подобия? (1)

б) Докажите, что преобразование подобия сохраняет углы между лучами. (2)



41. а) Сформулируйте признак подобия треугольников по двум углам. (1)

б) Докажите этот признак. (1)

42. а) Сформулируйте признак подобия треугольников по двум сторонам и углу между ними. (1)

б) Докажите этот признак. (1)

43. а) Сформулируйте признак подобия треугольников по трём сторонам. (1)

б) Докажите этот признак. (2)

44. а) Сформулируйте свойство биссектрисы треугольника. (1)

б) Докажите, что биссектриса треугольника делит противолежащую сторону на отрезки, пропорциональные двум другим сторонам. (1)

45. а) Сформулируйте свойство вписанного в окружность угла. (1)

б) Докажите это свойство. (1)

46. а) Докажите, что если хорды АВ и CD окружности пересекаются в точке S, то AS ? BS = CS ? DS. (1)

б) Докажите, что если из точки S к окружности проведены две секущие, пересекающие окружность в точках А, В и С, D соответственно, то AS ? BS = CS ? DS. (1)

47. а) Сформулируйте теорему косинусов для треугольника. (1)

б) Докажите эту теорему. (1)

48. а) Сформулируйте теорему синусов. (1)

б) Докажите эту теорему. (1)

в) Докажите, что в теореме синусов каждое из трёх отношений:

Геометрия: Планиметрия в тезисах и решениях. 9 класс

равно 2R, где R – радиус описанной около треугольника окружности. (1)

49. Докажите, что в треугольнике против большей стороны лежит больший угол, а против большего угла лежит большая сторона. (2)

50. а) Чему равна сумма углов выпуклого n-угольника? (1)

б) Выведите формулу суммы углов выпуклого n-угольника. (1)

51. а) Докажите, что в правильный многоугольник можно вписать окружность. (1)

б) Докажите, что около правильного многоугольника можно описать окружность. (1)

52. Дан правильный n-угольник со стороной а. Выведите формулы:

а) радиусов вписанной и описанной окружностей; (1)

б) площади n-угольника; (1)

в) угла при вершине. (1)

53. Докажите, что отношение длины окружности к её диаметру не зависит от размера окружности. (3)

54. Как переводить углы из градусной меры в радианную и наоборот? (1)

55. Докажите, что площадь прямоугольника равна произведению длины прямоугольника на его ширину. (3)

56. а) По какой формуле вычисляется площадь параллелограмма? (1)

б) Выведите эту формулу. (1)

57. а) По какой формуле вычисляется площадь треугольника? (через основание и высоту). (1)

б) Выведите эту формулу. (1)

в) Выведите формулу Герона. (1)

58. а) По какой формуле вычисляется площадь трапеции? (1)

б) Выведите эту формулу. (1)

59. Выведите формулы:

Геометрия: Планиметрия в тезисах и решениях. 9 класс

где a, b, c – длины сторон треугольника;

S – его площадь;

R и r – радиусы описанной и вписанной окружностей. (1)

60. Пусть F1 и F2 – две подобные фигуры с коэффициентом подобия k. Как относятся площади этих фигур? Ответ: обоснуйте. (1)

61. а) По какой формуле вычисляется площадь круга? (1)

б) Выведите эту формулу. (3)

62. Выведите формулу площади кругового сектора. (2)

63. Выведите формулу площади кругового сегмента. (2)

64. а) Докажите, что биссектрисы треугольника пересекаются в одной точке. (2)

б) Докажите, что медианы треугольника пересекаются в одной точке. (2)

в) Докажите, что высоты треугольника (или их продолжения) пересекаются в одной точке. (2)

г) Докажите, что серединные перпендикуляры к сторонам треугольника пересекаются в одной точке. (1)

65. Докажите, что площадь треугольника равна половине произведения двух его сторон на синус угла между ними. (1)

66. а) Сформулируйте теорему Чевы. (3)

б) Докажите эту теорему. (3)

в) Сформулируйте и докажите обратную теорему. (3)

67. а) Сформулируйте теорему Мене лая. (3)

б) Докажите эту теорему. (3)

в) Сформулируйте и докажите обратную теорему. (3)

68. а) Докажите, что если стороны одного угла параллельны сторонам другого угла, то такие углы либо равны, либо составляют 180°. (2)

б) Докажите, что если стороны одного угла перпендикулярны сторонам другого угла, то такие углы равны или составляют 180°. (2)

69. Докажите, что медианы треугольника точкой пересечения делятся в отношении 2:1, считая от вершины. (1)

70. Докажите, что площадь четырёхугольника равна половине произведения его диагоналей на синус угла между ними. (1)

71. Выведите формулу длины медианы треугольника (через его стороны). (2)

72. Выведите формулу длины биссектрисы треугольника (через его стороны). (2)

73. а) Сформулируйте критерий описанного четырёхугольника. (1)

б) Докажите соответствующую теорему. (2)

74. а) Сформулируйте критерий вписанного четырёхугольника. (1)

б) Докажите соответствующую теорему. (2)

3.3. Задачи теоретического характера для самостоятельного решения и разбора на факультативных занятиях

1. Докажите, что

Геометрия: Планиметрия в тезисах и решениях. 9 класс

(рис. 113). (1)

Геометрия: Планиметрия в тезисах и решениях. 9 класс

Рис. 113.


2. Докажите, что центр окружности, описанной около прямоугольного треугольника, лежит на середине гипотенузы. (1)

3. Докажите, что сумма внешних А углов выпуклого n-угольника равна 360°. (1)

4. Докажите, что через три точки, не лежащие на одной прямой, можно провести окружность и притом только одну. (1)

5. Около какого параллелограмма можно описать окружность? Ответ: поясните. (1)

6. Во всякий ли параллелограмм можно вписать окружность? Ответ: обоснуйте. (1)

7. Около какой трапеции можно описать окружность? Почему? (1)

8. АВ = а, ВС = b. Найдите длину BD (рис. 114). (1)

Геометрия: Планиметрия в тезисах и решениях. 9 класс

Рис. 114.


9. АС = a, AD = b. Найдите длину АВ (рис. 115). (1)

Геометрия: Планиметрия в тезисах и решениях. 9 класс

Рис. 115.


10. В каком отношении точка X делит отрезок АВ, если известно, что длина всего отрезка АВ так относится к длине большей части АХ, как большая часть к меньшей части ХВ («золотое сечение») (рис. 116)? (1)

Геометрия: Планиметрия в тезисах и решениях. 9 класс

Рис. 116.


11. Могут ли две прямые иметь две точки пересечения? Объясните ответ. (1)

12. Могут ли точки А, В, С лежать на одной прямой, если АВ = 1,8 м, АС = 1,3 м, ВС = 3 м? Объясните ответ. (1)

13. Может ли прямая, пересекающая одну из двух параллельных прямых, не пересекать другую? Объясните ответ. (1)

14. Может ли прямая, не проходящая ни через одну из вершин треугольника, пересекать каждую его сторону? Почему? (1)

15. Найдите угол между биссектрисами смежных углов. (1)

16. Докажите, что биссектрисы вертикальных углов лежат на одной прямой. (1)

17. Докажите, что у равнобедренного треугольника:1) биссектрисы, проведённые из вершин при основании, равны; 2) медианы, проведённые из тех же вершин, тоже равны. (1)

18. Докажите равенство треугольников по углу, биссектрисе этого угла и стороне, прилежащей к этому углу. (1)

19. Даны два равнобедренных треугольника с общим основанием. Докажите, что их медианы, проведённые к основанию, лежат на одной прямой. (1)

20. Докажите равенство треугольников по двум сторонам и медиане, проведённой к одной из них. (1)

21. Докажите, что биссектрисы внутренних накрест лежащих углов, образованных параллельными и секущей, параллельны, т. е. лежат на параллельных прямых. (1)

22. Отрезки АВ и CD пересекаются в точке Е и делятся этой точкой пополам. Докажите, что прямые АС и BD параллельны. (1)

23. Докажите, что биссектриса внешнего угла при вершине равнобедренного треугольника параллельна основанию. (1)

24. В треугольнике ABC медиана BD равна половине стороны АС. Найдите угол В треугольника. (1)

25. Через точку пересечения диагоналей параллелограмма проведена прямая. Докажите, что отрезок её, заключённый между параллельными сторонами, делится этой точкой пополам. (1)

26. Докажите, что если диагонали прямоугольника пересекаются под прямым углом, то он – квадрат. (1)

27. Докажите, что вершины треугольника равноудалены от прямой, проходящей через середины двух его сторон. (1)

28. Докажите, что середины сторон четырёхугольника являются вершинами параллелограмма. (1)

29. Докажите, что середины сторон прямоугольника являются вершинами ромба. И наоборот, середины сторон ромба являются вершинами прямоугольника. (1)

30. Докажите, что у равнобокой трапеции углы при основании равны. (1)

31. Докажите, что любая сторона треугольника больше разности двух других его сторон. (1)

32. Докажите, что медиана треугольника ABC, проведённая из вершины А, меньше полусуммы сторон АВ и АС. (1)

33. Могут ли пересекаться окружности с радиусами R1 и R2 и расстоянием между центрами d, если R1 + R2 < d? (1)

34. Найдите радиус r окружности, вписанной в равносторонний треугольник со стороной а, и радиус R окружности, описанной около него. (1)

35. Найдите геометрическое место точек плоскости ху, для которых |х| = 3. (1)

36. Составьте уравнение окружности с центром в точке (1; 2), касающейся оси х. (1)

37. Докажите, что прямая, содержащая медиану равнобедренного треугольника, проведённую к основанию, является осью симметрии треугольника. (1)

38. Сколько осей симметрии у равностороннего треугольника? (1)

39. Докажите, что ромбы равны, если у них равны диагонали. (1)

40. Даны точки A(0; 1), В(1; 0), С(1; 2), D(2; 1). Докажите равенство векторов АВ и CD.(1)

41. Дан параллелограмм ABCD, AC = a, DB = b. Выразите векторы АВ, СВ, CD и АD через а и b (рис. 117).(1)

Геометрия: Планиметрия в тезисах и решениях. 9 класс

Рис. 117.


42. Докажите, что для любого вектора

Геометрия: Планиметрия в тезисах и решениях. 9 класс

43. Докажите, что дуги окружности, заключённые между параллельными хордами, равны. (2)

44. Докажите правильность соотношения

Геометрия: Планиметрия в тезисах и решениях. 9 класс

(рис. 118). (2)

Геометрия: Планиметрия в тезисах и решениях. 9 класс

Рис. 118.


45. Докажите правильность соотношения

Геометрия: Планиметрия в тезисах и решениях. 9 класс

(рис. 119). (2)

Геометрия: Планиметрия в тезисах и решениях. 9 класс

Рис. 119.


46. АВ – касательная. Докажите, что х = ?/2 (рис. 120). (2)

Геометрия: Планиметрия в тезисах и решениях. 9 класс

Рис. 120.


47. Докажите, что если два треугольника подобны с коэффициентом подобия k, то с тем же коэффициентом подобия подобны соответствующие линейные элементы этих треугольников (высоты, медианы, радиусы описанной и вписанной окружностей, периметры и т. д.). (2)

48. Докажите, что если для четырёх точек плоскости А, В, М и К выполняется одно из следующих условий: а) точки М и К расположены по одну сторону от прямой АВ и при этом ?АМВ = ?АКБ; б) точки М и К расположены по разные стороны от прямой АВ и при этом ?АМВ + ?АКБ = 180°, то точки А, В, М и К лежат на одной окружности. (2)

49. Докажите, что биссектриса внешнего угла треугольника обладает свойством, аналогичному биссектрисе внутреннего угла, а именно:

Геометрия: Планиметрия в тезисах и решениях. 9 класс

(рис. 121). (2)

Геометрия: Планиметрия в тезисах и решениях. 9 класс

Рис. 121.


50. ABC – произвольный треугольник. СР и AQ – высоты. Докажите, что треугольник ABC и треугольник PBQ подобны. Чему равен коэффициент подобия (рис. 122)? (2)

Геометрия: Планиметрия в тезисах и решениях. 9 класс

Рис. 122.


51. Докажите равенство треугольников по медиане и углам, на которые медиана разбивает угол треугольника. (2)

52. Докажите равенство треугольников по стороне, медиане, проведённой к этой стороне, и углам, которые образует с ней медиана. (2)

53. Разделите отрезок АВ с помощью циркуля и линейки на n равных частей. (2)

54. На стороне АВ треугольника ABC взята точка X Докажите, что отрезок СХ меньше, по крайней мере, одной из сторон АС или ВС. (2)

55. Какая геометрическая фигура задана уравнением

Геометрия: Планиметрия в тезисах и решениях. 9 класс

56. Докажите, что при движении параллелограмм переходит в параллелограмм. (2)

57. Докажите, что у параллелограмма точка пересечения диагоналей является центром симметрии. (2)

58. Докажите, что отрезки, соединяющие противоположные вершины описанного шестиугольника, пересекаются в одной точке (теорема Брианшона). (3)

59. Докажите, что основания перпендикуляров, проведённых к прямым, содержащим стороны треугольника, из произвольной точки описанной около него окружности, лежат на одной прямой (теорема Симпсона). (3)

60. Докажите, что если противоположные стороны вписанного шестиугольника не параллельны, то точки пересечения продолжений этих сторон лежат на одной прямой (теорема Паскаля). (3)

61. Докажите, что точки А, В, С лежат на одной прямой (рис. 123). (3)

Геометрия: Планиметрия в тезисах и решениях. 9 класс

Рис. 123.


62. Пусть точка А расположена внутри круга радиуса R на расстоянии а от его центра. BB1 – произвольная хорда, проходящая через А. Тогда произведение ВА ? АВ1 постоянно и ВА ? АВ1 = R2– а2. Докажите, что если точка А лежит вне круга, то ВА ? АВ1 = а2 – R2. (3)

63. Докажите, что центр описанной окружности, точка пересечения медиан и точка пересечения высот лежат на одной прямой (теорема Эйлера). (3)

64. Докажите, что в остроугольном треугольнике точка пересечения высот является центром окружности, вписанной в треугольник, вершинами которого являются основания высот данного треугольника. (3)

65. Докажите, что для треугольника:

Геометрия: Планиметрия в тезисах и решениях. 9 класс

66. Даны две точки А и В. Докажите, что геометрическим местом точек М таких, что AM: ВМ = k (к ? 1), является окружность с центром на прямой АВ (окружность Anолонния). (3)

67. Найдите углы четырёхугольника ABCD (рис. 124). (3)

Геометрия: Планиметрия в тезисах и решениях. 9 класс

Рис. 124.


68. В треугольнике ABC отрезок А1B1, соединяющий основания высот АА1 и ВВ1, виден из середины стороны АВ под углом ?. Найдите величину угла С этого треугольника. (3)

69. Стороны треугольника равны а, b, с. В каком отношении делятся биссектрисы треугольника точкой их пересечения? (3)

70. Докажите, что расстояние между центрами вписанной и описанной окружностей (речь идёт о треугольнике) равно

Геометрия: Планиметрия в тезисах и решениях. 9 класс

(формула Эйлера). (3)

71. Докажите, что в любом треугольнике основания высот, середины сторон и середины отрезков, соединяющих ортоцентр с вершинами, лежат на одной окружности радиуса R/2 (окружность девяти точек). Где находится центр данной окружности? Какое свойство есть у этой окружности? (3)

72. Докажите, что если прямая, не проходящая через вершины треугольника ABC, пересекает его стороны (прямые, содержащие стороны) АВ, ВС, СА соответственно в точках A1, B1 С1 то середины отрезков АА1, ВВ1, СС1 лежат на одной прямой (теорема Гаусса). (3)

73. Докажите, что если прямые АА1, ВВ1, СС1, соединяющие вершины треугольников ABC и A1B1C1, пересекаются в одной точке S или параллельны, то точки пересечения прямых АВ и А1В1, ВС и В1С1, АС и A1C1 (если они существуют) лежат на одной прямой (теорема Дезарга). Докажите обратную теорему. (3)

74. Докажите, что касательные в вершинах неравнобедренного треугольника к описанной около него окружности пересекают прямые, содержащие противоположные стороны этого треугольника, в трёх точках, лежащих на одной прямой (теорема Паскаля). (3)

75. Докажите теорему косинусов для четырёхугольника. (3)

76. Докажите, что для любого треугольника R ? 2r, причём равенство возможно только для равностороннего треугольника. (3)

77. Выведите координатные формулы движений плоскости. (3)

I. Для параллельного переноса:

х' = х + а

y' = у + b.

II. Для центральной симметрии:

x' = 2x0 – x

y' = 2y0 – y.

III. Для поворота:

х' = х ? cos? – у sin?

y' = х ? sin? + у ? cos?.

IV. Для осевой симметрии (уравнение прямой ах + by + с = 0):

Геометрия: Планиметрия в тезисах и решениях. 9 класс

78. Докажите, что если точки А, В, С лежат на одной прямой, а точки А1, В1, С1 – на другой, и АВ1||А1В, ВС1||В1С, то АС1||А1С (теорема Паппа). (3)

79. Выведите координатные формулы инверсии:

Геометрия: Планиметрия в тезисах и решениях. 9 класс

Глава 2

Практикум по решению задач

§ 1. Использование формул планиметрии и тригонометрии

Решение наибольшего числа задач по планиметрии предполагает знание формул планиметрии и тригонометрии. Это прежде всего задачи на решение треугольников, нахождение различных линейных элементов в геометрических фигурах (длин медиан, биссектрис, радиусов окружностей и т. д.), определение углов.

1.1. Задачи на треугольник

При решении вычислительных задач на треугольник нужно знать следующие формулы (рис. 125):

Геометрия: Планиметрия в тезисах и решениях. 9 класс

Рис. 125.

Геометрия: Планиметрия в тезисах и решениях. 9 класс

где a, b, с – стороны треугольника;

?, ?, ? – противолежащие им углы;

r и R – радиусы вписанной и описанной окружностей;

ha, ma, la – высота, медиана и биссектриса, проведённые к стороне а;

S – площадь треугольника;

Геометрия: Планиметрия в тезисах и решениях. 9 класс

– полупериметр треугольника.

Иногда применяют формулу

Геометрия: Планиметрия в тезисах и решениях. 9 класс

а также формулу расстояния между центрами описанной и вписанной окружностей:

Геометрия: Планиметрия в тезисах и решениях. 9 класс

Примеры решения задач

1. Определите вид треугольника (остроугольный, тупоугольный или прямоугольный) со сторонами 8, 6 и 11 см (рис. 126). (1)

Геометрия: Планиметрия в тезисах и решениях. 9 класс

Рис. 126.


Решение. Обозначим больший угол треугольника через ?. Очевидно, что он лежит напротив стороны в 11 см, так как в треугольнике больший угол лежит против большей стороны. По теореме косинусов 112= 82+ 62– 2?8?6?cos ?;

cos ? = -7/32 < 0, значит, угол ? – тупой.

Можно было рассуждать и по-другому. Если бы угол ? был равен 90°, то большая сторона по теореме Пифагора равнялась бы

Геометрия: Планиметрия в тезисах и решениях. 9 класс

Удлинение стороны на 1 см автоматически увеличивает и лежащий напротив угол – он становится тупым.

Ответ: тупоугольный.


2. Основание треугольника равно 6 см, один из углов при основании равен 105°, другой – 45°. Найдите длину стороны, лежащей против угла в 45° (рис. 127). (1)

Геометрия: Планиметрия в тезисах и решениях. 9 класс

Рис. 127.


Решение. Пусть в треугольнике ABC будут АС = 6 см, ?А = 45°, ?С = 105°. Обозначим длину стороны ВС через х. Её нам и нужно найти. Воспользуемся теоремой синусов по которой:

Геометрия: Планиметрия в тезисах и решениях. 9 класс

Учитывая, что сумма углов в треугольнике равна 180°, получим:?В = 180° – ?A – ?C = 180°– 45°– 105° = 30°.

Итого

Геометрия: Планиметрия в тезисах и решениях. 9 класс

Ответ:

Геометрия: Планиметрия в тезисах и решениях. 9 класс

3. Найдите площадь треугольника со сторонами 2, ?5 и 3 (рис. 128). (1)

Геометрия: Планиметрия в тезисах и решениях. 9 класс

Рис. 128.


Решение. Можно воспользоваться формулой Герона:

Геометрия: Планиметрия в тезисах и решениях. 9 класс

В нашем случае:

Геометрия: Планиметрия в тезисах и решениях. 9 класс

Полупериметр:

Геометрия: Планиметрия в тезисах и решениях. 9 класс

Проще решить задачу можно было бы так. По теореме косинусов:

Геометрия: Планиметрия в тезисах и решениях. 9 класс

Так как площадь треугольника равна половине произведения двух сторон на синус угла между ними, то:

Геометрия: Планиметрия в тезисах и решениях. 9 класс

Ответ: ?5.


4. В треугольнике ABC, где ?ACB = 120°, проведена медиана СМ. Найдите ее длину, если АС = 6, ВС = 4 (рис. 129). (2)

Геометрия: Планиметрия в тезисах и решениях. 9 класс

Рис. 129.


Решение. Воспользуемся формулой длины медианы

Геометрия: Планиметрия в тезисах и решениях. 9 класс

У нас а = ВС = 4, b = АС = 6. Осталось найти с = АВ. Применим к треугольнику АСВ теорему косинусов: с2= АВ2= АС2+ ВС2– 2AC ? BC ? cos(?АСВ) = 62+ 42– 2 ? 6 ? 4 ? cos 120° = 36 + 16–48?(-1/2) = 76.

Геометрия: Планиметрия в тезисах и решениях. 9 класс

Ответ: ?7.


5. Найдите длины сторон АВ и АС остроугольного треугольника ABC, если ВС = 8, а длины высот, опущенных на стороны АС и ВС, равны 6, 4 и 4 соответственно (рис. 130). (2)

Геометрия: Планиметрия в тезисах и решениях. 9 класс

Рис. 130.


Решение. Единственный угол треугольника, который остался «нетронутым», угол С.

Из прямоугольного треугольника ВМС следует:

Геометрия: Планиметрия в тезисах и решениях. 9 класс

тогда

Геометрия: Планиметрия в тезисах и решениях. 9 класс

Из ?АКС:

Геометрия: Планиметрия в тезисах и решениях. 9 класс

А теперь по теореме косинусов, применённой к треугольнику ABC, получаем:

Геометрия: Планиметрия в тезисах и решениях. 9 класс

Ответ: AB = ?41; AC = 5.


6. В треугольнике, один из углов которого равен разности двух других, длина меньшей стороны равна 1, а сумма площадей квадратов, построенных на двух других сторонах, в два раза больше площади описанного около треугольника круга. Найти длину большей стороны треугольника (рис. 131). (2)

Геометрия: Планиметрия в тезисах и решениях. 9 класс

Рис. 131.


Решение: Обозначим через ? наименьший угол в треугольнике и через ? наибольший угол. Тогда третий угол равен ? – ? – ?. По условию задачи ? – ? = ? – ? – ? (больший угол не может равняться разности двух других углов). Отсюда следует, что 2? = ?; ? = ?/2. Значит, треугольник прямоугольный. Катет ВС, лежащий против меньшего угла ?, равен по условию 1, значит, второй катет АВ равен ctg?, а гипотенуза АС равна 1/sin ?. Поэтому сумма площадей квадратов, построенных на гипотенузе и большем катете, равна:

Геометрия: Планиметрия в тезисах и решениях. 9 класс

Центр окружности, описанной около прямоугольного треугольника, лежит на середине гипотенузы, и её радиус равен:

Геометрия: Планиметрия в тезисах и решениях. 9 класс

а площадь равна:

Геометрия: Планиметрия в тезисах и решениях. 9 класс

Пользуясь условием задачи, имеем уравнение:

Геометрия: Планиметрия в тезисах и решениях. 9 класс

откуда

Геометрия: Планиметрия в тезисах и решениях. 9 класс

Длина большей стороны треугольника равна

Геометрия: Планиметрия в тезисах и решениях. 9 класс

Ответ:

Геометрия: Планиметрия в тезисах и решениях. 9 класс

7. Длины сторон а, b, с треугольника равны 2, 3 и 4. Найти расстояние между центрами описанной и вписанной окружностей. (2)

Решение. Для решения задачи даже чертеж не нужен. Последовательно находим: полупериметр

Геометрия: Планиметрия в тезисах и решениях. 9 класс
Геометрия: Планиметрия в тезисах и решениях. 9 класс
Геометрия: Планиметрия в тезисах и решениях. 9 класс

Расстояние между центрами окружностей:

Геометрия: Планиметрия в тезисах и решениях. 9 класс

Ответ:

Геометрия: Планиметрия в тезисах и решениях. 9 класс

8. В треугольнике ABC величина угла ВАС равна ?/3, длина высоты, опущенной из вершины С на сторону АВ, равна ?3 см, а радиус окружности, описанной около треугольника ABC, равен 5 см. Найти длины сторон треугольника ABC (рис. 132). (3)

Геометрия: Планиметрия в тезисах и решениях. 9 класс

Рис. 132.


Решение: Пусть CD – высота треугольника ABC, опущенная из вершины С. Возможны три случая. Основание D высоты CD попадает:

1) на отрезок АВ;

2) на продолжение отрезка АВ за точку В;

3) в точку В.

По условию радиус R окружности, описанной около треугольника ABC, равен 5 см. Следовательно, во всех трех случаях:

Геометрия: Планиметрия в тезисах и решениях. 9 класс

Теперь ясно, что точка D не совпадает с точкой В, так как ВС ? CD. Применяя теорему Пифагора к треугольникам ACD и BCD, находим, что

Геометрия: Планиметрия в тезисах и решениях. 9 класс

Отсюда следует, что точка D лежит между точками А и В, но тогда АВ = AD + BD (1 + 6?2) см.

Ответ: АВ = (6?2 + 1) см, ВС = 5?3 см, АС = 2 см.


9. В треугольниках ABC и A1B1C1 длина стороны АВ равна длине стороны А1В1, длина стороны АС равна длине стороны А1С1, величина угла ВАС равна 60° и величина угла В1А1С1 равна 120°. Известно, что отношение длины В1С1 к длине ВС равно ?n (где n – целое число). Найти отношение длины АВ к длине АС. При каких значениях n задача имеет хотя бы одно решение (рис. 133)? (3)

Геометрия: Планиметрия в тезисах и решениях. 9 класс

Рис. 133.


Решение: Пусть ABC и A1B1C1 – данные в условии задачи треугольники. Применяя теорему косинусов к треугольникам ABC и А1В1С1, имеем:

Геометрия: Планиметрия в тезисах и решениях. 9 класс

Т. к. по условию задачи В1С1 :ВС = ?n, то

Геометрия: Планиметрия в тезисах и решениях. 9 класс

Поскольку А1В1 = АВ и А1С1 = АС, то, разделив числитель и знаменатель дроби в левой части равенства (1) на АС2и обозначив АВ: АС через х, получим равенство:

Геометрия: Планиметрия в тезисах и решениях. 9 класс

откуда ясно, что искомое отношение длины АВ к длине АС есть корень уравнения

х2(n – 1) – х(n + 1) + n – 1 = 0. (2)

Т. к. В1С1 > ВС, то n > 1. Следовательно, уравнение (2) является квадратным. Его дискриминант равен (n + 1)2– 4(n – 1)2= – 3n2+ 10n – 3.

Уравнение (2) будет иметь решения, если – 3n2+ 10n – 3 ? 0, т. е. при -1/3 ? n ? 3. Т. к. n – натуральное число, большее 1, то уравнение (2) имеет решения при n = 2 и n = 3. При n = 3 уравнение (2) имеет корень х = 1; при n = 2 уравнение имеет корни

Геометрия: Планиметрия в тезисах и решениях. 9 класс

Ответ: отношение длины АВ к длине АС равно

Геометрия: Планиметрия в тезисах и решениях. 9 класс

при n = 2; равно 1 при n = 3; при остальных n решений нет.

Задачи для самостоятельного решения

10. В треугольнике ABC высота AD на 4 см меньше стороны ВС. Сторона АС равна 5 см. Найдите периметр треугольника ABC, если его площадь равна 16 см2. (1)

11. Докажите, что для любого треугольника выполняется равенство:

Геометрия: Планиметрия в тезисах и решениях. 9 класс

где ha, hb и hc – высоты треугольника, а r – радиус вписанной окружности. (2)

12. Основание треугольника равно ?2. Найдите длину отрезка прямой, параллельной основанию и делящей площадь треугольника пополам.(2)

13. Найдите площадь треугольника по стороне а и прилежащим к ней углам ? и ?. (2)

14. В треугольнике ABC длина высоты BD равна 6 см, длина медианы СЕ равна 5 см, расстояние от точки пересечения отрезков BD и СЕ до стороны АС равно 1 см. Найти длину стороны АВ. (3)

15. В треугольнике ABC высота BD равна 11,2, а высота АЕ равна 12. Точка Е лежит на стороне ВС, и BE: ЕС = 5:9. Найти длину стороны АС. (3)

16. В треугольнике ABC длина стороны АС равна 3, ?ВАС = ?/6 и радиус описанной окружности равен 2. Доказать, что площадь треугольника ABC меньше 3. (3)

17. В треугольнике ABC медианы, проведенные к сторонам АС и ВС, пересекаются под прямым углом. Длина стороны АС равна b, длина стороны ВС равна а. Найти длину стороны АВ. (3)

1.2. Задачи на равнобедренный и равносторонний треугольники

К задачам на равнобедренный треугольник применимы все формулы п. 1.1 этой главы, разве что во всех формулах b = с, ? = ?.

В случае равностороннего треугольника формулы значительно упрощаются, т. к. а = b = с, ? = ? = ? = 60°. Тогда

Геометрия: Планиметрия в тезисах и решениях. 9 класс

длины всех медиан, высот и биссектрис равны

Геометрия: Планиметрия в тезисах и решениях. 9 класс

Примеры решения задач

18. Один из углов равнобедренного треугольника равен 120°. Найдите отношение сторон треугольника (рис. 134). (1)

Геометрия: Планиметрия в тезисах и решениях. 9 класс

Рис. 134.


Решение. Обозначим основание треугольника через b, боковые стороны через а (см. рис.). По теореме косинусов

Геометрия: Планиметрия в тезисах и решениях. 9 класс

Тогда отношения сторон треугольника а: а: в = 1:1:?3.

Ответ: 1:1:?3.


19. Найдите площадь круга, описанного вокруг равностороннего треугольника со стороной а (рис. 135). (1)

Геометрия: Планиметрия в тезисах и решениях. 9 класс

Рис. 135.


Решение. Обозначим сторону треугольника через а. Тогда по теореме синусов имеем:

Геометрия: Планиметрия в тезисах и решениях. 9 класс
Геометрия: Планиметрия в тезисах и решениях. 9 класс

Площадь круга:

Геометрия: Планиметрия в тезисах и решениях. 9 класс

Ответ:

Геометрия: Планиметрия в тезисах и решениях. 9 класс

20. Основание равнобедренного треугольника равно 4?2, медиана боковой стороны равна 5. Найдите длину боковой стороны (рис. 136). (2)

Геометрия: Планиметрия в тезисах и решениях. 9 класс

Рис. 136.


Решение. Можно воспользоваться готовой формулой длины медианы:

Геометрия: Планиметрия в тезисах и решениях. 9 класс

Обозначим АВ через 2х, тотда ВМ = МС = х (см. рис.).

Имеем:

Геометрия: Планиметрия в тезисах и решениях. 9 класс

АВ = ВС = 6.

Задачу можно решить по-другому. Из ?ABC по теореме косинусов:

Геометрия: Планиметрия в тезисах и решениях. 9 класс

Далее, по той же теореме косинусов из ?АМВ:

Геометрия: Планиметрия в тезисах и решениях. 9 класс

Ответ: 6.


21. На основании равнобедренного треугольника, равном 8 см, как на хорде, построена окружность, касающаяся боковых сторон треугольника. Найдите радиус окружности, если длина высоты, опущенной на основание треугольника, равна 3 см (рис. 137). (2)

Геометрия: Планиметрия в тезисах и решениях. 9 класс

Рис. 137.


Решение. Пусть данный треугольник ABC, где АВ = ВС; ВК = 3; АК = КС = 4 (см. рис.). Угол ОВС обозначим через ?. Из треугольника ВКС по теореме Пифагора находим:

Геометрия: Планиметрия в тезисах и решениях. 9 класс

Из того же треугольника следует: tg ? = 4/3. Радиус окружности R = ОС найдём из треугольника ВСО:

Геометрия: Планиметрия в тезисах и решениях. 9 класс

Ответ: 20/3 см.

Задачи для самостоятельного решения

22. В равнобедренном треугольнике боковая сторона равна 12, а угол при вершине – 120°. Определите высоту треугольника. (1)

23. В равнобедренном треугольнике основание и опущенная на него высота равны 4. Найдите площадь описанного круга. (1)

24. В равнобедренном треугольнике высота равна 8, а основание относится к боковой стороне, как 6:5. Найдите радиус вписанной окружности. (1)

25. Длина окружности, описанной около равностороннего треугольника, равна 4. Найдите площадь заштрихованного сектора (рис. 138). (2)

Геометрия: Планиметрия в тезисах и решениях. 9 класс

Рис. 138.


26. Докажите, что сумма расстояний от любой точки равностороннего треугольника до его сторон равна длине высоты треугольника. (2)

1.3. Задачи на прямоугольный треугольник

Для прямоугольного треугольника с катетами а, b и гипотенузой с, помимо общих формул (см. п. 1.1 этой главы), характерны следующие соотношения:

Геометрия: Планиметрия в тезисах и решениях. 9 класс

(центр окружности, описанной около прямоугольного треугольника, лежит на середине гипотенузы); а = csin ? = ccos ? = btg? = bctg?.

Примеры решения задач

27. В прямоугольном треугольнике ABC, где угол АСВ = 90°, проведена высота CD. Известно, что угол СВА = 30°.

Найдите АВ/BD (рис. 139). (1)

Геометрия: Планиметрия в тезисах и решениях. 9 класс

Рис. 139.


Решение. Пусть АВ = а; тогда из ?ABC получаем: АС = a/2 (катет, лежащий напротив угла в 30°, равен половине гипотенузы). Далее, ?ACD = ?СВА = 30°, так как эти углы имеют взаимноперпендикулярные стороны. Из ?ACD следует:

Геометрия: Планиметрия в тезисах и решениях. 9 класс

Ответ: 4/3.


28. Периметр прямоугольного треугольника равен 24 см, а его площадь равна 24 см2. Найдите площадь описанного около треугольника круга (рис. 140). (2)

Геометрия: Планиметрия в тезисах и решениях. 9 класс

Рис. 140.

Решение. Пусть а, b – длины катетов треугольников. Тогда длина гипотенузы равна

Геометрия: Планиметрия в тезисах и решениях. 9 класс

Периметр треугольника равен

Геометрия: Планиметрия в тезисах и решениях. 9 класс

а площадь 1/2 аb. Получаем систему уравнений:

Геометрия: Планиметрия в тезисах и решениях. 9 класс

Пусть

Геометрия: Планиметрия в тезисах и решениях. 9 класс

48х = 672:х = 14.

Геометрия: Планиметрия в тезисах и решениях. 9 класс

а = 8; b = 6.

Так как центр окружности, описанной около прямоугольного треугольника, лежит на середине гипотенузы, то радиус окружности

Геометрия: Планиметрия в тезисах и решениях. 9 класс

Ответ: 25? см2.


29. На катете АС прямоугольного треугольника ABC как на диаметре построена окружность, которая пересекает гипотенузу АВ в точке К. Найти площадь треугольника СКВ, если длина катета AС равна b и величина угла ABC равна ? (рис. 141). (3)

Геометрия: Планиметрия в тезисах и решениях. 9 класс

Рис. 141.


Решение. Пусть ABC – данный в условии задачи треугольник. Так как АС – диаметр окружности, то угол СКА прямой и треугольник СКА прямоугольный. Поскольку величина угла САК равна 90° – ?, то величина угла КСА равна ?. Из прямоугольного треугольника СКА имеем, что СК = bcos ?. Из прямоугольного треугольника СКВ находим ВК = СК ctg? = bcos ? ctg?. Но тогда площадь треугольника СКВ равна

Геометрия: Планиметрия в тезисах и решениях. 9 класс

Ответ:

Геометрия: Планиметрия в тезисах и решениях. 9 класс

30. В треугольнике ABC угол А прямой, величина угла В равна 30°. В треугольник вписана окружность, радиус которой равен ?3. Найти расстояние от вершины С до точки N касания этой окружности с катетом АВ (рис. 142). (3)

Геометрия: Планиметрия в тезисах и решениях. 9 класс

Рис. 142.


Решение. Пусть ABC – прямоугольный треугольник, удовлетворяющий условию задачи. Обозначим через О центр окружности, вписанной в этот треугольник, а через M и N – точки касания этой окружности соответственно с катетами AС и АВ. Поскольку радиус, проведенный в точку касания, перпендикулярен касательной, то ОМ ? АС и ON ? АВ. Так как угол А прямой, то четырёхугольник AMON – прямоугольник. Отсюда следует, что AM = ON = ?3 и AN = OM = ?3. Рассмотрим треугольник ОМС. Это прямоугольный треугольник, у которого ?ОСМ = 1/2 (?АСВ) = ?/6. Так как ОМ = ?3 то МС = QM ? ctg ?/6 = 3. Но тогда AC = AM + МС = ?3 + 3. Из прямоугольного треугольника ANC находим, что

Геометрия: Планиметрия в тезисах и решениях. 9 класс

Ответ:

Геометрия: Планиметрия в тезисах и решениях. 9 класс

Задачи для самостоятельного решения

31. В прямоугольном равнобедренном треугольнике гипотенуза равна 12 см. Определите высоту треугольника, опущенную из прямого угла. (1)

32. В прямоугольном треугольнике ABC даны: длина катета ВС, равная 36, и косинус угла ВАС, равный 8/17. Найдите длину другого катета АС и площадь треугольника. (1)

33. Площадь равностороннего треугольника, построенного на гипотенузе прямоугольного треугольника, вдвое больше площади последнего. Определите углы прямоугольного треугольника. (2)

34. В прямоугольном треугольнике высота, опущенная из вершины прямого угла, делит гипотенузу на отрезки длиной 9 и 16. Найдите радиус вписанной в треугольник окружности. (2)

35. В треугольнике ABC угол ВАС прямой, длины сторон АВ и ВС равны соответственно 1 и 2. Биссектриса угла ABC пересекает сторону АС в точке L, G – точка пересечения медиан треугольника ABC. Что больше, длина BL или длина BG? (2)

36. На плоскости лежит равнобедренный прямоугольный треугольник, у которого катеты имеют длину. Поворотом в этой плоскости данного треугольника вокруг вершины его прямого угла на угол 45° получается другой равнобедренный прямоугольный треугольник. Найти площадь четырехугольника, являющегося общей частью этих двух треугольников. (3)

1.4. Задачи на трапецию

При решении задач на трапецию нужно помнить следующие положения:

1)

Геометрия: Планиметрия в тезисах и решениях. 9 класс

где а, b – длины оснований, h – высота трапеции;

2) Если около трапеции ABCD можно описать окружность, то она равнобокая. Если при этом требуется найти радиус этой окружности, то он совпадает с радиусом окружности, описанной около любого из треугольников: ABC, ABD, ACD, BCD.

3) Если в трапецию ABCD вписана окружность, то AB + CD = BC + AD.

4) Трапецию принято изображать как на рис. 143.

Геометрия: Планиметрия в тезисах и решениях. 9 класс

Рис. 143.


При нижнем основании оба угла – острые, но она может выглядеть и как на рис. 144.

Геометрия: Планиметрия в тезисах и решениях. 9 класс

Рис. 144.


Поэтому, например, задача «Одно из оснований трапеции равно 6, боковые стороны трапеции равны ?5 и ?13. Высота трапеции равна 2. Найдите площадь трапеции» имеет 4 решения:16, 14, 10 и 8.

Примеры решения задач

37. В равнобокой трапеции ABCD высоты ВК и CL отсекают на основании AD отрезки АК и LD. Найдите длины этих отрезков, если AD = 19, ВС = 7 (рис. 145). (1)

Геометрия: Планиметрия в тезисах и решениях. 9 класс

Рис. 145.


Решение. Так как трапеция равнобокая, то треугольники АВК и CLD равны. В самом деле, АВ = CD по условию, ВК = CL как высоты трапеции. Значит, прямоугольные треугольники АВК и CLD равны по гипотенузе и катету. Так как KBCL – прямоугольник, то KL = ВС = 7; АК + LD = AD – KL = 19 – 7 = 12; AK = LD = 6.

Ответ: 6; 6.


38. Углы при основании трапеции равны 60° и 45°, высота трапеции равна 6 см. Найдите боковые стороны трапеции (рис. 146). (1)

Геометрия: Планиметрия в тезисах и решениях. 9 класс

Рис. 146.


Решение. Построим трапецию ABCD и проведём высоты ВК и СМ. Из прямоугольного ?АВК находим:

Геометрия: Планиметрия в тезисах и решениях. 9 класс

Из прямоугольного ?CMD получаем:

Геометрия: Планиметрия в тезисах и решениях. 9 класс

Ответ: 4?3 см; 6?2 см.


39. Средняя линия трапеции равна 10 и делит площадь трапеции в отношении 3:5. Найдите длины оснований этой трапеции. (2)

Геометрия: Планиметрия в тезисах и решениях. 9 класс

Рис. 147.


Решение. Рассмотрим трапеции EBCF и AEFD (рис. 147). Введем обозначения: AD = х, ВС = у; высоты трапеций EBCF и AEFD обозначим через h. Так как площадь трапеции равна произведению полусуммы оснований на высоту трапеции, то

Геометрия: Планиметрия в тезисах и решениях. 9 класс
Геометрия: Планиметрия в тезисах и решениях. 9 класс

Отсюда

Геометрия: Планиметрия в тезисах и решениях. 9 класс

Из свойства средней линии трапеции:

Геометрия: Планиметрия в тезисах и решениях. 9 класс

Таким образом, получаем систему уравнений:

Геометрия: Планиметрия в тезисах и решениях. 9 класс

Ответ: 5; 15.


40. В равнобедренной трапеции даны основания а = 21, b = 9 и высота h = 8. Найдите длину описанной около трапеции окружности (рис. 148; окружность на рисунке не показана). (2)

Геометрия: Планиметрия в тезисах и решениях. 9 класс

Рис. 148.


Решение. Проведём высоты трапеции ВК и СМ. Так как АВ = CD, то

Геометрия: Планиметрия в тезисах и решениях. 9 класс

Из ?АВК по теореме Пифагора получаем:

Геометрия: Планиметрия в тезисах и решениях. 9 класс

тогда

Геометрия: Планиметрия в тезисах и решениях. 9 класс

KD = KM + MD = 9 + 6 = 15. Так как окружность, описанная около трапеции, совпадает с окружностью, описанной около треугольника ABD, то по теореме синусов имеем:

Геометрия: Планиметрия в тезисах и решениях. 9 класс

Отсюда

Геометрия: Планиметрия в тезисах и решениях. 9 класс

или

Геометрия: Планиметрия в тезисах и решениях. 9 класс

Длина окружности

Геометрия: Планиметрия в тезисах и решениях. 9 класс

Ответ: 85?/4.


41. В выпуклом четырёхугольнике MNLQ углы при вершинах N и L – прямые, а величина угла при вершине М равна arctg2/3. Найти длину диагонали NQ, если известно, что длина стороны LQ вдвое меньше длины стороны MN и на 2 м больше длины стороны LN (рис. 149). (2)

Геометрия: Планиметрия в тезисах и решениях. 9 класс

Рис. 149.


Решение: Из условия задачи следует, что угол NMQ острый. Пусть QK – высота треугольника MNQ. По условию LN ? MN и LN ? LQ, следовательно, MN||LQ и LN||QK, т. е. четырёхугольник KNLQ – параллелограмм. Тогда QK = LN и NK = LQ. Имеем, пользуясь условием задачи: QK = LN = LQ – 2, КМ = NM – NK = 2LQ – LQ = LQ. В прямоугольном треугольнике QKM отрезки QK и КМ являются катетами, следовательно,

Геометрия: Планиметрия в тезисах и решениях. 9 класс

и, значит, LQ – 2 = 2/3 LQ, откуда LQ = 6 и LN = 4. Из прямоугольного треугольника NLQ, наконец, по теореме Пифагора находим:

Геометрия: Планиметрия в тезисах и решениях. 9 класс

Ответ:

Геометрия: Планиметрия в тезисах и решениях. 9 класс

42. В трапеции ABCD отрезки АВ и DC являются основаниями. Диагонали трапеции пересекаются в точке Е. Найти площадь треугольника, ВСЕ, если АВ = 30 см, DC = 24 см, AD = 3 см и ?DAB = ?/3. (рис. 150). (3)

Геометрия: Планиметрия в тезисах и решениях. 9 класс

Рис. 150.


Решение. Обозначим через h длину высоты треугольника ABC, опущенной из вершины В на продолжение стороны АС. Так как этот отрезок одновременно является и высотой в треугольнике ВСЕ, то имеем:

Геометрия: Планиметрия в тезисах и решениях. 9 класс

Из полученных равенств находим:

Геометрия: Планиметрия в тезисах и решениях. 9 класс

В треугольниках ABE и CED равны величины соответствующих углов (?АЕВ = ?CED, ?ABE = ?CDE). Значит, эти треугольники подобны и

Геометрия: Планиметрия в тезисах и решениях. 9 класс

Теперь из (1) и (2) находим, что

Геометрия: Планиметрия в тезисах и решениях. 9 класс

Треугольники ABC и ABD имеют общее основание АВ. Поскольку АВ||CD, то их высоты, опущенные соответственно из вершин С и D, имеют равную величину. Поэтому

Геометрия: Планиметрия в тезисах и решениях. 9 класс

Ответ:

Геометрия: Планиметрия в тезисах и решениях. 9 класс

Задачи для самостоятельного решения

43. Найдите площадь равнобокой трапеции, если ее основания равны 12 и 4 см, а боковая сторона образует с одним из оснований угол в 45°. (1)

44. Меньшее основание равнобедренной трапеции равно высоте и равно h. Острый угол трапеции равен 30°. Найдите периметр трапеции. (1)

45. Длины параллельных сторон трапеции равны 25 и 4, а длины боковых сторон равны 20 и 13. Найдите высоту трапеции. (2)

46. Основания трапеции равны а и b, боковые стороны равны с. Найдите длину диагонали трапеции. (2)

47. Определите длину высоты трапеции, если её основания равны 28 и 16 см, а боковые стороны равны 25 и 17 см. (2)

48. Найдите площадь равнобедренной трапеции, у которой высота равна 10, а диагонали взаимно перпендикулярны. (2)

49. В трапецию ABCD с основаниями AD и ВС и с боковыми сторонами АВ и CD вписана окружность с центром О. Найти площадь трапеции, если угол DAB прямой, ОС = 2 и OD = 4. (3)

1.5. Задачи на параллелограмм

Площадь параллелограмма со сторонами а, b и углом ? между ними вычисляется по формуле S = absin ?. Можно также воспользоваться формулой S = 1/2 d1d2 sin? где d1, d2 – длины диагоналей, ? – угол между ними (или S = aha, где ha – высота). Если в параллелограмм можно вписать окружность, то это ромб. Если около параллелограмма можно описать окружность, то это прямоугольник.

Примеры решения задач

50. В параллелограмме сумма двух противолежащих углов равна 132°. Найдите градусную меру каждого из углов параллелограмма (рис. 151). (1)

Геометрия: Планиметрия в тезисах и решениях. 9 класс

Рис. 151.


Решение. По условию задачи ?А + ?С = 132°. Но, так как в параллелограмме противоположные углы равны, то ?А = ?С = 132°/2 = 66°. Учтём также, что ?А + ?В = ?С + ?D = 180°. Имеем:?В = ?D = 180° – 66° = 114°.

Ответ: 66°, 114°, 66°, 114°.


51. Одна из диагоналей параллелограмма разбивает его на два равносторонних треугольника со стороной а. Найдите длину другой диагонали (рис. 152). (1)

Геометрия: Планиметрия в тезисах и решениях. 9 класс

Рис. 152.


Решение. Раз ?ABD и ?BCD – равносторонние, то углы ?BAD = ?BCD = 60°, тогда ?ABC = 120°.

По теореме косинусов из треугольника ABC получаем:

Геометрия: Планиметрия в тезисах и решениях. 9 класс

Ответ:

Геометрия: Планиметрия в тезисах и решениях. 9 класс

52. Найдите площадь параллелограмма, если его диагонали 3 и 5, а острый угол параллелограмма 60° (рис. 153). (2)

Геометрия: Планиметрия в тезисах и решениях. 9 класс

Рис. 153.


Решение. Обозначим стороны параллелограмма: AD = а, АВ = b, ?BAD = 60°. BD = 3; АС = 5. Очевидно, что ?ABC = 120°. По теореме косинусов из треугольников ABD и АСВ имеем:

Геометрия: Планиметрия в тезисах и решениях. 9 класс

Вычитая первое уравнение из второго, получим 2ab = 16. Тогда площадь будет равна:

Геометрия: Планиметрия в тезисах и решениях. 9 класс

Ответ:

Геометрия: Планиметрия в тезисах и решениях. 9 класс

Задачи для самостоятельного решения

53. В параллелограмме с периметром 32 см проведены диагонали. Разность между периметрами двух смежных треугольников равна 8 см. Найдите длины сторон параллелограмма. (1)

54. В параллелограмме ABCD длина диагонали BD, перпендикулярной стороне АВ, равна 6. Длина диагонали АС равна 2?22. Найдите длину стороны AD. (1)

55. Параллелограмм ABCD, у которого АВ = 153, AD = 180, BE = 135 (BE – высота), разделен на три одинаковые по площади фигуры прямыми, перпендикулярными AD. На каком расстоянии от точки А находятся точки пересечения этих перпендикуляров с AD? (2)

1.6. Задачи на ромб

Для ромба характерны все формулы для параллелограмма, только а = b.

Примеры решения задач

56. Тупой угол ромба в 5 раз больше его острого угла. Во сколько раз сторона ромба больше радиуса вписанной в него окружности (рис. 154)? (1)

Геометрия: Планиметрия в тезисах и решениях. 9 класс

Рис. 154.


Решение. Пусть сторона ромба равна а. В ромбе, как и во всяком параллелограмме, сумма внутренних односторонних углов BAD (обозначим этот угол ?А) и ABC (обозначим его ?В) равна 180°. Получаем систему уравнений:

Геометрия: Планиметрия в тезисах и решениях. 9 класс

Радиус r вписанной окружности, как видно из рисунка, равен половине высоты ВН ромба (2r = MN = ВН). Но из ?АВН следует, что

Геометрия: Планиметрия в тезисах и решениях. 9 класс

Ответ: в 4 раза.

57. Высота ромба равна 12, а одна из его диагоналей равна 15. Найдите площадь ромба (рис. 155). (2)

Геометрия: Планиметрия в тезисах и решениях. 9 класс

Рис. 155.


Решение. Для нахождения площади ромба нам нужно знать длину стороны ромба и хотя бы один из его углов. Пусть АВ = а; ?А = ?. Проведём высоту ВН. Из ?АВН находим, что ВН = AB ? sin ?; 12 = asin ?. Из ?ABD по теореме косинусов BD2= АВ2+ AD2– 2AB ? AD ? cos ?; 152= а2 + а2– 2 ? a ? acos ?; 225 = 2а2(1 – cos ?). Получаем систему уравнений:

Геометрия: Планиметрия в тезисах и решениях. 9 класс

Делим первое уравнение на второе:

Геометрия: Планиметрия в тезисах и решениях. 9 класс
Геометрия: Планиметрия в тезисах и решениях. 9 класс

Ответ: 150.

Задачи для самостоятельного решения

58. Диагональ ромба равна его стороне, ее длина 10 см. Найдите вторую диагональ и углы ромба. (1)

59. В ромб, сторона которого 20 см, вписан круг. Найти площадь круга, если одна диагональ ромба больше другой в 4/3 раза. (2)

60. В ромб с острым углом 30° вписан круг, площадь которого равна Q. Найдите площадь ромба. (2)

1.7. Задачи на прямоугольник

Для прямоугольника справедливы все формулы для параллелограмма, только угол между сторонами равен 90°. Поэтому S = ab = 1/2d2d2 sin?.

Примеры решения задач

61. Прямоугольник вписан в окружность радиуса 5 см. Одна из сторон равна 8 см. Найдите другие стороны прямоугольника (рис. 156). (1)

Геометрия: Планиметрия в тезисах и решениях. 9 класс

Рис. 156.


Решение. Очевидно, что центр описанной около прямоугольника окружности является точкой пересечения диагоналей прямоугольника. Из рисунка видно, что ОВ = 5, BE = BC/2 = 8/2 = 4.

Тогда по теореме Пифагора находим:

Геометрия: Планиметрия в тезисах и решениях. 9 класс

Ответ: 6 см; 8 см; 6 см.


62. Стороны прямоугольника 5 и 4 см. Биссектрисы углов, прилежащих к большей стороне, делят противолежащую сторону на 3 части. Найдите длины этих частей (рис. 157). (2)

Геометрия: Планиметрия в тезисах и решениях. 9 класс

Рис. 157.


Решение. Проведем в прямоугольнике ABCD биссектрисы AM и DK (см. рис. 157). Получим:?ВАМ = 1/2 ?BAD = 1/2 ?90° = 45°. Отсюда следует, что ?АВМ – равнобедренный (?ВMA = 45°) и, значит, ВМ = АВ = 4. МС = ВС – ВМ = 5–4 = 1.

Очевидно, что ВК = МС = 1;

КМ = ВС – ВК – МС = 5–1 – 1 = 3.

Ответ: 1; 3; 1.


63. Из всех прямоугольников, вписанных в полукруг, найти прямоугольник наибольшей площади (рис. 158). (3)

Геометрия: Планиметрия в тезисах и решениях. 9 класс

Рис. 158.


Решение. Обозначив ?АОВ =?, получим: АВ = R sin ?, АО = R cos ?, S = AB ? AD = AB ? 2AO = 2R2sin ? ? cos ?, 0° < ? < 90°.

Воспользуемся формулой синуса двойного аргумента и будем иметь:

S = R2sin2?. Так как sin2? ? 1, то S максимальна при условии sin2? = 1, т. е. когда 2? = 90°, ? = 45°. При этом S = R2. Стороны прямоугольника при этом будут равны

Геометрия: Планиметрия в тезисах и решениях. 9 класс

Ответ:

Геометрия: Планиметрия в тезисах и решениях. 9 класс

Задачи для самостоятельного решения

64. Диагональ прямоугольника делит угол в отношении 2:1. Найдите отношение сторон прямоугольника. (1)

65. Площадь прямоугольника равна 9?3 см2, а величина одного из углов, образованного диагоналями, равна 120°. Найдите стороны прямоугольника. (2)

66. Площадь прямоугольника ABCD равна 48, а длина диагонали равна 10. На плоскости, в которой расположен прямоугольник, выбрана точка О так, что OB = OD = 13. Найти расстояние от точки О до наиболее удаленной от нее вершины прямоугольника. (3)

1.8. Задачи на квадрат

Если а – сторона квадрата, d – его диагональ, то S = a2= d2/2.

Примеры решения задач

67. Радиус окружности, в которую вписали квадрат, равен 6. Найдите площадь квадрата (рис. 159). (1)

Геометрия: Планиметрия в тезисах и решениях. 9 класс

Рис. 159.


Решение. Очевидно, что центр описанной около квадрата окружности есть точка пересечения его диагоналей. Это означает, что ОВ – радиус окружности и ОВ = 6. Тогда АВ = 12 и по теореме Пифагора AC2+ ВС2= AB2. Обозначив длину стороны квадрата через а, получим: а2+ а2= 122; 2 ? а2= 144; а2 = 72. Sквадрата = a2= 72.

Ответ: 72.


68. Сторона квадрата, вписанного в окружность, отсекает сегмент, площадь которого (2? – 4) см2. Найдите периметр квадрата (рис. 160). (2)

Геометрия: Планиметрия в тезисах и решениях. 9 класс

Рис. 160.


Решение. Площадь заштрихованного сегмента, как видно из рисунка, можно вычислить по формуле:

Геометрия: Планиметрия в тезисах и решениях. 9 класс

где а – длина стороны квадрата, R – радиус описанной окружности. Выразим R через а.

Геометрия: Планиметрия в тезисах и решениях. 9 класс

Таким образом,

Геометрия: Планиметрия в тезисах и решениях. 9 класс

С учётом условия получаем уравнение:

Геометрия: Планиметрия в тезисах и решениях. 9 класс

Рквадрата = 4a = 4 ? 4 = 16 см.

Ответ: 16 см.


69. В плоскости дан квадрат с последовательно расположенными вершинами А, В, С, D и точка О. Известно, что OB = OD = 13, ОС = 5?2 и что площадь квадрата больше 225. Найти длину стороны квадрата и выяснить, где расположена точка О – вне или внутри квадрата (рис. 161). (3)

Геометрия: Планиметрия в тезисах и решениях. 9 класс

Рис. 161.


Решение. Так как OB = OD, то точка О лежит на перпендикуляре к середине отрезка BD, т. е. на прямой АС. Обозначим через К точку пересечения диагоналей квадрата. Из условия следует, что ОВ > ОС; значит, точка О лежит по одну сторону с точкой С относительно перпендикуляра к середине отрезка ВС. Отсюда следует, что точка О лежит на луче КС.

Обозначим КО через х и АВ = CD через y. Так как

Геометрия: Планиметрия в тезисах и решениях. 9 класс

и

Геометрия: Планиметрия в тезисах и решениях. 9 класс

Применяя к прямоугольному треугольнику KOD теорему Пифагора, получаем: OD2= КО2+ KD2или 169 = х2+ 1/2 у2.

Предположим, что КО ? КС или

Геометрия: Планиметрия в тезисах и решениях. 9 класс

тогда х2 ? 1/2 у2(заметим, что числа x и y неотрицательны) и

Геометрия: Планиметрия в тезисах и решениях. 9 класс

т. е. площадь квадрата не превосходит 169, что противоречит условию. Следовательно,

Геометрия: Планиметрия в тезисах и решениях. 9 класс

т. е. КО < КС, и точка О лежит внутри квадрата. Теперь получаем

Геометрия: Планиметрия в тезисах и решениях. 9 класс

Из первого уравнения

Геометрия: Планиметрия в тезисах и решениях. 9 класс

Подставляя

Геометрия: Планиметрия в тезисах и решениях. 9 класс

вместо х во второе уравнение, после арифметических преобразований получаем уравнение у2– 10у – 119 = 0. Это квадратное уравнение имеет корни у1 = -7 и у2 = 17. Так как у есть длина отрезка, то у > 0 и, значит, y = 17.

Ответ: длина стороны квадрата равна 17; точка О лежит внутри квадрата.

Задачи для самостоятельного решения

70. Сторона квадрата равна 7 см. Определите диаметр окружности, описанной около квадрата. (1)

71. В квадрат вписан круг, а в полученный круг вписан квадрат. Найдите отношение площадей квадратов. (1)

72. Квадрат со стороной 3 см срезан по углам так, что образовался правильный восьмиугольник. Найдите сторону восьмиугольника. (2)

73. Дан квадрат ABCD. На его сторонах вовне построены равносторонние треугольники ABM, BCN, CDK, DAL. Найдите площадь четырёхугольника MNKL, если АВ = 1. (2)

1.9. Задачи на n-угольник (n > 3)

Для произвольного выпуклого четырёхугольника S = 1/2 d1d2 sin?. Если в четырёхугольник можно вписать окружность, то суммы его противоположных сторон равны, a S = рr, где р – полупериметр, r – радиус вписанной окружности.

Если около четырёхугольника можно описать окружность, то суммы противоположных углов равны по 180°.

Для правильного n-угольника:

Геометрия: Планиметрия в тезисах и решениях. 9 класс

(R и r – радиусы описанной и вписанной окружностей, а – длина стороны правильного n-угольника).

Полезно также помнить, что в правильном шестиугольнике a6 = R.

Примеры решения задач

74. Сторона правильного шестиугольника равна 6. Найдите длину вписанной в него окружности (рис. 162). (1)

Геометрия: Планиметрия в тезисах и решениях. 9 класс

Рис. 162.


Решение. В правильном шестиугольнике сторона равна радиусу описанной окружности. Значит, треугольник АВО – правильный, угол АВО составляет 60°, a OB = R = 6. Радиусы вписанной в правильный шестиугольник окружности перпендикулярны его сторонам. В частности на рис. показано, что r ? АВ, где r = ОР. Тогда из прямоугольного треугольника ОРВ имеем:

Геометрия: Планиметрия в тезисах и решениях. 9 класс
Геометрия: Планиметрия в тезисах и решениях. 9 класс

Ответ:

Геометрия: Планиметрия в тезисах и решениях. 9 класс

75. Сколько сторон имеет выпуклый многоугольник, у которого все углы равны, если сумма его внешних углов с одним из внутренних равна 468°? (2)

Решение. Сумма внешних углов выпуклого многоугольника равна 360°, сумма внутренних углов равна 180°(n – 2). Величина угла в правильном n-угольнике равна

Геометрия: Планиметрия в тезисах и решениях. 9 класс

Получаем уравнение:

Геометрия: Планиметрия в тезисах и решениях. 9 класс

180°(n – 2) = 108°n;

72°n = 360°; n = 5.

Ответ: 5.

Задачи для самостоятельного решения

76. Сторона правильного шестиугольника равна 14. Найдите сторону равновеликого ему правильного треугольника. (1)

77. В правильный треугольник вписана окружность, а в неё – правильный шестиугольник. Найдите отношение площадей треугольника и шестиугольника. (2)

78. Выпуклый четырёхугольник ABCD описан вокруг окружности с центром в точке О, при этом АО = ОС = 1, ВО = OD = 2. Найти периметр четырёхугольника ABCD. (3)

1.10. Задачи на окружность и круг

При решении задач на окружность и круг применяются следующие формулы:

Геометрия: Планиметрия в тезисах и решениях. 9 класс

если ? выражена в радианах. Sсегмента = Sсектора – Sтреугольника.

Вписанный в окружность угол равен половине центрального угла, опирающегося на ту же дугу.

Примеры решения задач

79. Даны две концентрические окружности. Длина одной из них равна 33?, другой 27?. Найдите ширину кольца (рис. 163). (1)

Геометрия: Планиметрия в тезисах и решениях. 9 класс

Рис. 163.


Решение. Очевидно, что ширина кольца hкольца = R – r (см. рис). Зная длины окружностей, найдём их радиусы.

Геометрия: Планиметрия в тезисах и решениях. 9 класс

Ответ: 3.


80. Найдите площадь сектора круга с радиусом R = 4 и центральным углом в 30°. (1)

Решение. Площадь сектора с углом в 30° в 36°/3° = 12 раз меньше площади всего круга. Значит, площадь сектора

Геометрия: Планиметрия в тезисах и решениях. 9 класс

Ответ: 4/3?.


81. Две окружности с радиусами R = 3 и r = 1 касаются внешним образом. Найдите расстояния от точки касания окружностей до их общих касательных (рис. 164, а; б). (2)

Геометрия: Планиметрия в тезисах и решениях. 9 класс

Рис. 164.


Решение. Из рисунка видно, что четырёхугольник АВ02О1 – трапеция. В самом деле, радиусы О1А и О2В перпендикулярны общей касательной АВ, а значит, параллельны друг другу. Проведём среднюю линию EF трапеции АВO2О1. По свойству средней линии трапеции находим

Геометрия: Планиметрия в тезисах и решениях. 9 класс

Легко видеть, что КМ – средняя линия трапеции EВО2F(см. рис. 164, б).

Геометрия: Планиметрия в тезисах и решениях. 9 класс

Ответ: 3/2.


82. В сектор с центральным углом в 60° вписан круг. При каком радиусе сектора площадь круга равна ? (рис. 165)? (2)

Геометрия: Планиметрия в тезисах и решениях. 9 класс

Рис. 165.


Решение. Пусть АО = ОВ = ОС = х (см. рис). D – центр вписанного в сектор круга. Тогда ОС – биссектриса ?АОВ и ?СОВ = 1/2 ?АОВ = 1/2 ? 60° = 30°. Из прямоугольного треугольника ODK:

Геометрия: Планиметрия в тезисах и решениях. 9 класс

Ответ: 3.


83. Диаметр окружности радиуса R является основанием правильного треугольника. Вычислите площадь той части треугольника, которая лежит вне данного круга (рис. 166). (2)

Геометрия: Планиметрия в тезисах и решениях. 9 класс

Рис. 166.


Решение. Как видно из рисунка, треугольники ADO и ОЕС – равносторонние (например, у ?ADO ?А = 60°; АО = OD, значит, ?ADO = 60°).

Геометрия: Планиметрия в тезисах и решениях. 9 класс

Искомая площадь:

Геометрия: Планиметрия в тезисах и решениях. 9 класс

Ответ:

Геометрия: Планиметрия в тезисах и решениях. 9 класс

84. На плоскости даны две окружности с радиусами 12 см и 7 см и центрами в точках О1 и О2 касающиеся некоторой прямой в точках М1 и М2 и лежащие по одну сторону от этой прямой. Отношение длины отрезка М1М2 к длине отрезка О1O2 равно

Геометрия: Планиметрия в тезисах и решениях. 9 класс

Вычислить длину отрезка М1М2 (рис. 167). (3)

Геометрия: Планиметрия в тезисах и решениях. 9 класс

Рис. 167.


Решение. Пусть S1 и S2 – две окружности, удовлетворяющие условию задачи. Поскольку точки М1 и М2 являются точками касания окружностей S1 и S2 с прямой М1М2, то О1М1 ? М1М2 и O2М2 ? М1М2. Соединим центры О1 и O2 этих окружностей и проведём через точку О1 прямую, параллельную прямой М1М2. Пусть точка К будет точкой пересечения прямых O2М2 и прямой, проведённой параллельно прямой М1М2 через точку О1. Получим прямоугольный треугольник O1O2K с гипотенузой O1O2. Применяя к прямоугольному треугольнику О1КO2 теорему Пифагора, имеем:

О1О22= O1K2+ KO22(1)

Поскольку

Геометрия: Планиметрия в тезисах и решениях. 9 класс

то

Геометрия: Планиметрия в тезисах и решениях. 9 класс

Поскольку КМ2 = О1М1 и КO2 = КМ2 – М2O2, то КO2 = 5 см. Наконец,

Геометрия: Планиметрия в тезисах и решениях. 9 класс

Теперь из равенства (1) с учётом (2) и (3), а также КO2 = 5 см, следует, что 5/4 М1М22= М1М22+ 25, откуда

Геометрия: Планиметрия в тезисах и решениях. 9 класс

Ответ: 10 см.

Задачи для самостоятельного решения

85. Дуги А1В1 и А2В2 равной длины 1 принадлежат разным окружностям с радиусами R1 и R2. Найдите отношение градусных мер центральных углов, соответствующих этим дугам. (1)

86. Точка лежит вне круга на расстоянии диаметра от центра круга. Найдите угол между касательными, проведенными из данной точки к данному кругу. (1)

87. В пересечение двух равных кругов вписан ромб с диагоналями 12 и 6 см. Найдите радиус окружностей. (2)

88. В равнобедренный треугольник, у которого боковая сторона равна 10 см, а основание 6 см, вписана окружность. Определите расстояние между точками касания, находящимися на боковых сторонах треугольника. (2)

89. Дано круговое кольцо, площадь которого Q. Определите длину хорды большего круга, касательной к меньшему. (2)

90. Круг радиуса

Геометрия: Планиметрия в тезисах и решениях. 9 класс

разделен на два сегмента хордой, равной стороне вписанного в этот круг правильного треугольника. Определите площадь меньшего из этих сегментов. (2)

91. Хорды АВ и АС имеют одинаковую длину. Величина образованного ими вписанного в окружность угла равна ?/6. Найти отношение площади той части круга, которая заключена в этом угле, к площади всего круга. (3)

§ 2. Основные идеи и методы решения планиметрических задач

Если в предыдущем параграфе мы рассматривали задачи, в которых центральное место принадлежит формулам планиметрии и тригонометрии, то теперь перейдем к задачам, где главную роль будут играть не формулы, а теоремы о свойствах и признаках геометрических фигур. Задачи в параграфе разбиты уже не по объекту исследования (треугольник, трапеция, круг и т. д.), а по ведущей идее решения.

2.1. Задачи на вписанную в треугольник окружность

Если в условии задачи говорится об описанной около треугольника окружности, то в большинстве случаев строить её не нужно. И наоборот, когда речь идёт о вписанной в треугольник окружности. Здесь не только нужно строить саму окружность, но и проводить радиусы к точкам касания (перпендикуляры к сторонам), а также соединять центр окружности с вершинами треугольника. При этом образуются равные треугольники.

Примеры решения задач

92. В прямоугольном треугольнике точка касания вписанной окружности делит гипотенузу на отрезки длиной 5 и 12 см. Найдите катеты треугольника (рис. 168). (1)

Геометрия: Планиметрия в тезисах и решениях. 9 класс

Рис. 168.


Решение. Впишем в треугольник ABC окружность и соединим её центр О с вершинами В, С. Проведём также перпендикуляры ОК, ON, ОМ (см. рис.). Они являются радиусами вписанной в треугольник окружности. Из равенства треугольников ВМО и BNO следует, что ВМ = BN = 5. Аналогично, из равенства треугольников ОКС и ONC следует, что КС = NC = 12. Заметим также, что AMOK– квадрат и, значит, AM = АК = r. Получаем, что АВ = АМ + МВ = r + 5, АС = АК + КС = r + 12. По теореме Пифагора получаем: АВ2+ АС2= ВС2.

(r + 5)2+ (r + 12)2= 172;

r2+ 10r + 25 + r2+ 24r + 144 = 289;

2r2+ 34r – 120 = 0;

r2+ 17r – 60 = 0; r = 3.

Катеты равны 5 + r = 8 и 12 + r = 15.

Ответ: 8 см; 15 см.


93. В треугольник вписана окружность с радиусом 4. Одна из сторон треугольника разделена точкой касания на отрезки, длины которых 6 и 8. Найдите длины сторон треугольника (рис. 169). (2)

Геометрия: Планиметрия в тезисах и решениях. 9 класс

Рис. 169.


Решение. Как и в предыдущей задаче, изобразим вписанную в треугольник окружность и соединим центр окружности О с вершинами треугольника. Проведем также перпендикуляры ОМ, ОТ, ОК, являющиеся радиусами окружности. Получены три пары равных треугольников: OAK и ОAT, ОВМ и ОВТ, ОСМ и ОСК. По условию одна из сторон треугольника разделена точкой касания на отрезки, длины которых 6 и 8. Пусть для определенности эта сторона – ВС и ВМ = 8, МС = 6. Тогда ВТ = ВМ = 8, СК = СМ = 6. Длины отрезков АК и AT обозначим через х. Для нахождения величины х воспользуемся формулой S = рг. По формуле Герона

Геометрия: Планиметрия в тезисах и решениях. 9 класс

Ответ: 13; 14; 15.

Задачи для самостоятельного решения

94. Точка касания окружности, вписанной в равнобедренный треугольник, делит боковую сторону на отрезки в 3 и 4 см, считая от основания. Найдите периметр треугольника. (1)

95. Около окружности описана равнобокая трапеция, у которой боковая сторона точкой касания делится на отрезки 4 и 9 см. Найдите площадь трапеции. (2)

96. В прямоугольный треугольник, периметр которого равен 36 см, вписана окружность. Гипотенуза делится точкой касания в отношении 2:3. Найти длины сторон треугольника. (3)

2.2. Задачи на свойства параллельных прямых

В ряде задач используют свойства параллельных прямых: при пересечении двух параллельных прямых третьей образуются равные углы (рис. 170).

Геометрия: Планиметрия в тезисах и решениях. 9 класс

Рис. 170.


Квартеты равных углов:?1 = ?4 = ?6 = ?8; ?2 = ?3 = ?5 = ?7.

Особенно часто эти свойства применяются при решении задач на параллелограмм.

Примеры решения задач

97. В параллелограмме ABCD проведена биссектриса угла А, которая пересекает сторону ВС в точке F. Найдите длину BF, если сторона АВ = 11 (рас. 171). (1)

Геометрия: Планиметрия в тезисах и решениях. 9 класс

Рис. 171.


Решение. Из рисунка видно, что ?BFA = ?FAD (внутренние накрест лежащие при параллельных прямых), но ?BAF = ?FAD по условию, и поэтому ?BFA = ?BAF. Значит, треугольник ABF – равнобедренный, и BF = АВ = 11.

Ответ: 11.


98. В параллелограмме ABCD сторона АВ равна 6 см, а высота, проведенная к основанию AD, равна 3 см. Биссектриса угла BAD пересекает сторону ВС в точке М так, что МС = 4 см. N – точка пересечения биссектрисы AM и диагонали BD. Вычислить площадь треугольника BNM (рис. 172). (3)

Геометрия: Планиметрия в тезисах и решениях. 9 класс

Рис. 172.


Решение. Пусть АВCD – данный в условии задачи параллелограмм. Проведем через точку N высоту параллелограмма QR. Обозначим через ? величину угла ВАМ; тогда величина угла АМВ равна ?, т. к. ВС||AD и AM – секущая. Следовательно, треугольник АВМ равнобедренный и ВМ = АВ = 6 см, откуда заключаем, что ВС = AD = ВМ + МС = 6 + 4 = 10 см. Поскольку ?ВМА = ?MAD и ?MBN = ?BDA, как накрест лежащие углы при параллельных ВС и AD, то треугольники BMN и AND подобны по двум углам. Так как в подобных треугольниках сходственные стороны пропорциональны сходственным высотам, то из подобия треугольников AND и BNM имеем:

Геометрия: Планиметрия в тезисах и решениях. 9 класс

откуда QN = 9/8 см.

Площадь треугольника BNM равна:

Геометрия: Планиметрия в тезисах и решениях. 9 класс

Ответ: 27/8 см2.

Задачи для самостоятельного решения

99. В параллелограмме ABCD угол BCD равен 60°, длина стороны АВ равна а. Биссектриса угла BCD пересекает сторону AD в точке N. Найдите площадь треугольника NCD. (1)

100. Периметр параллелограмма равен 90 см и острый угол содержит 60°. Диагональ параллелограмма делит его тупой угол в отношении 1:3. Найдите стороны параллелограмма. (1)

101. В параллелограмме ABCD биссектриса тупого угла В пересекает сторону AD в точке F. Найдите периметр параллелограмма, если АВ = 12 и AF: FD = 4:3. (1)

2.3. Задачи на пропорциональные отрезки

Теорема Фалеса (а также теоремы Чевы и Менелая) применяются в первую очередь тогда, когда в задаче даны соотношения между отрезками. Очень часто при этом приходится проводить дополнительный отрезок. Идеи использования теоремы Фалеса хорошо видны на следующих примерах.

Примеры решения задач

102. Докажите, что медианы в треугольнике делятся в отношении 2:1, считая от вершины (известная теорема школьного курса математики). (2)

Самый простой путь решения (рис. 173):

Геометрия: Планиметрия в тезисах и решениях. 9 класс

Рис. 173.


Проведем медианы AM и ВК, а также отрезок МТ, параллельный ВК. Имеем: т. к. ВМ = МС, то КТ = ТС. Но тогда АК = КС = 2КТ и, значит, АО: ОМ = АК: КТ = 2, что и требовалось доказать.


103. В треугольнике ABC на стороне ВС взята точка М так, что MB = МС, а на стороне АС взята точка К так, что АК = 3 ? КС. Отрезки ВК и АМ пересекаются в точке О. Найдите AO/OM (рис. 174). (2)

Геометрия: Планиметрия в тезисах и решениях. 9 класс

Рис. 174.


Решение. Обозначим длину отрезка КС через а, тогда АК = За. Проведём MP||ВК По теореме Фалеса КР = РС = a/2. По теореме о пропорциональных отрезках имеем:

Геометрия: Планиметрия в тезисах и решениях. 9 класс

Ответ: 6.


104. В треугольнике ABC на стороне АВ взята точка К так, что АК: ВК = 1:2, а на стороне ВС взята точка L так, что CL: BL = 2:1. Пусть Q – точка пересечения прямых AL и СК. Найти площадь треугольника ABC, если дано, что площадь треугольника BQC равна 1 (рис. 175). (3)

Геометрия: Планиметрия в тезисах и решениях. 9 класс

Рис. 175.


Решение. Проведём через точку L прямую LM параллельно прямой СК. Из подобия треугольников MBL и КВС следует, что

Геометрия: Планиметрия в тезисах и решениях. 9 класс

Из подобия треугольников AKQ и AML находим:

Геометрия: Планиметрия в тезисах и решениях. 9 класс

Кроме того, имеем следующие равенства:

Геометрия: Планиметрия в тезисах и решениях. 9 класс

Ответ: 7/4.

Задачи для самостоятельной работы

105. ВМ: МС = 3:1, АК = КВ. Найдите: SAKO/SABC(рис. 176). (2)

Геометрия: Планиметрия в тезисах и решениях. 9 класс

Рис. 176.


106. На сторонах АВ и АС треугольника ABC взяты точки M и N, такие, что AM/MB = CN/NA = 1/2.

Отрезки BN и СМ пересекаются в точке К. Найти отношения отрезков BK/KN и CK/KM.(2)

2.4. Задачи на свойства биссектрисы треугольника

Биссектриса треугольника обладает одним замечательным свойством: она делит противолежащую сторону на отрезки, пропорциональные соответствующим боковым сторонам (рис. 177).

с/а = d/b или c/d = a/b.

Геометрия: Планиметрия в тезисах и решениях. 9 класс

Рис. 177.


Это свойство часто используется в задачах, в которых фигурирует биссектриса треугольника.

Примеры решения задач

107. В треугольнике ABC проведена биссектриса AD. Найдите периметр треугольника ABC, если АС = 4; DC = 2; BD = 3 (рис. 178). (1)

Геометрия: Планиметрия в тезисах и решениях. 9 класс

Рис. 178.


Решение. По свойству биссектрисы BD/AB = DC/AC; 3/AB = 2/4; АВ = 6.

Периметр треугольника РАВС = 6 + 5 + 4 = 15.

Ответ: 15.


108. Дан треугольник ABC, в котором ?В = 30°, АВ = 4, ВС = 6. Биссектриса угла В пересекает сторону АС в точке D. Определите площадь треугольника ABD (рис. 179). (2)

Геометрия: Планиметрия в тезисах и решениях. 9 класс

Рис. 179.


Решение. По свойству биссектрисы AD/DC = AB/BC = 4/6 = 2/3.

Пусть AD = 2х; DC = Зх.

Геометрия: Планиметрия в тезисах и решениях. 9 класс

Ответ: 12/5.

Задачи для самостоятельного решения

109. В треугольнике ABC, где АВ = 6, АС = 4, биссектриса AL и медиана ВМ пересекаются в точке О. Найдите BO/OM (1).

110. Определите стороны треугольника, если медиана и высота, проведённые из вершины одного угла, делят этот угол на три равные части, а сама медиана равна 10 см. (2)

2.5. Задачи на подобие

Два треугольника подобны: по двум углам, по двум сторонам и углу между ними, по трём сторонам. Очень важно в задаче увидеть подобные треугольники или другие подобные фигуры. Для этого нужна хорошая практика решения задач.

При решении задач на прямоугольный треугольник полезно знать, что высота, проведённая из прямого угла, делит его на два подобных треугольника (рис. 180):

?ABD ~ ?ADC ~ ?ABC.

Геометрия: Планиметрия в тезисах и решениях. 9 класс

Рис. 180.

Примеры решения задач

111. Через точки М и К, принадлежащие сторонам АВ и ВС треугольника ABC соответственно, проведена прямая МК, параллельная стороне АС. Найдите длину СК, если ВС = 12, МК = 8 и АС = 18 (рис. 181). (1)

Геометрия: Планиметрия в тезисах и решениях. 9 класс

Рис. 181.


Решение. Обозначим КС через х. Тогда ВК = 12 – х. Из подобия треугольников ABC и МВК следует: MK/BK = AC/BC; 8/(12 – x) = 18/12; x = 20/3.

Ответ: 20/3.


112. В прямоугольный равнобедренный треугольник вписан прямоугольник так, что угол прямоугольника совпадает с углом при вершине треугольника, а вершина противолежащего угла лежит на гипотенузе. Докажите, что периметр прямоугольника есть величина постоянная для данного треугольника (рис. 182). (1)

Геометрия: Планиметрия в тезисах и решениях. 9 класс

Рис. 182.


Решение. Пусть АВ = АС = а, DE = х; AD = у. Тогда DB = а – у; FC = а – х. Треугольник DEB подобен треугольнику FСЕ, значит, DE/DB = FC/FE; x/(a – y) = (a – x)/y; ху2= а2– ау – ах + ху; х + у = а; РADEF = 2(х + у) = 2а, т. е. не зависит от х и у.


113. В прямоугольном треугольнике ABC угол А – прямой. Опущена высота AD, равная ?5. Найдите произведение BD ? DC (рис. 183). (1)

Геометрия: Планиметрия в тезисах и решениях. 9 класс

Рис. 183.


Решение. Треугольники ADB и ADC подобны (?BAD = ?ACD, ?ABD = ?DAC). Значит, BD/AD = AD/DC; BD ? DC = AD2= (?5)2= 5.

Ответ: 5.


114. В треугольнике ABC проведены высоты AD и СЕ. Докажите, что треугольники ABC и DBE подобны. Чему равен коэффициент подобия (рис. 184)? (2)

Геометрия: Планиметрия в тезисах и решениях. 9 класс

Рис. 184.


Решение. Из прямоугольного треугольника ВСЕ: BE = ВС ? cos В. Из ?ABD: BD = АВ ? cos В. Значит, две стороны BD и BE треугольника BDE пропорциональны сторонам АВ и ВС треугольника ABC, а угол В (угол между пропорциональными сторонами) у треугольников общий. ?BDE ~ ?ABC по двум сторонам и углу между ними.

Значит,

Геометрия: Планиметрия в тезисах и решениях. 9 класс

Ответ: kподобия = cos B.


115. В равносторонний треугольник вписана окружность. Этой окружности и сторон треугольника касаются три малые окружности. Найдите сторону треугольника, если радиус малой окружности равен 1 (рис. 185). (2)

Геометрия: Планиметрия в тезисах и решениях. 9 класс

Рис. 185.


Решение. Так как в равностороннем треугольнике ABC угол ABC = 60°, то ?ОВМ = 30° (см. рис.). Из центров О и О1 проведем перпендикуляры ОМ и О1Т к стороне ВС. По условию О1Т и О1K равны 1. Длины отрезков ОМ и ОК обозначим через R. Из треугольника ВТО1 следует, что ВО1 = О1Т/sin 30° = 1/0,5 = 2. Треугольники ВТО1 и ВМО подобны по двум углам (?BTO1 = ?BMO = 90°; ?OBM – общий). Отсюда следует, что O1T/O1B = OM/OB;

Геометрия: Планиметрия в тезисах и решениях. 9 класс

Теперь мы знаем радиус вписанной в равносторонний треугольник окружности. Осталось найти длину его стороны. Из треугольника ВОМ следует ВМ = OM ? ctg ?ОВМ = 3?3. Тогда ВС = 2ВМ = 6?3.

Ответ: 6?3.


116. Из одной точки к окружности проведены две касательные. Длина каждой касательной равна 12 см, а расстояние между точками касания 14,4 см. Определите радиус окружности (рис. 186). (2)

Геометрия: Планиметрия в тезисах и решениях. 9 класс

Рис. 186.


Решение. Пусть ОА и ОВ – касательные к окружности с центром С; А и В – точки касания. Тогда СВ ? ОВ, СА ? ОА. Кроме того, ОС ? АВ и делит эту сторону пополам. ОА = 12 см, AM = 1/2 АВ = 7,2 см.

Геометрия: Планиметрия в тезисах и решениях. 9 класс

?МОА = ?АОС (углы с взаимноперпендикулярными сторонами), значит, ?ОАС подобен ?ОАМ; тогда

Геометрия: Планиметрия в тезисах и решениях. 9 класс

Ответ: 9 см.


117. Центр О окружности радиуса длиной 3 лежит на гипотенузе АС прямоугольного треугольника ABC. Катеты треугольника касаются окружности. Найти площадь треугольника ABC, если известно, что длина отрезка ОС равна 5 (рис. 187). (3)

Геометрия: Планиметрия в тезисах и решениях. 9 класс

Рис. 187.


Решение. Пусть ABC – данный в условии задачи треугольник. Обозначим через M и N точки касания окружности соответственно со сторонами АВ и ВС. Соединив эти точки с центром О окружности, получим квадрат MBNO, и поэтому BN = ОМ = 3. Треугольник ONC прямоугольный, в нём ОС = 5, ON = 3. Следовательно,

Геометрия: Планиметрия в тезисах и решениях. 9 класс

Но тогда ВС = NC + NB = 7. Треугольники ONC и ABC подобны, поэтому AB/ON = BC/NC; AB/3 = 7/4; отсюда получаем, что AB = (ON ? BC)/NC = (3 ? 7)/4 = 21/4. Теперь находим S – площадь прямоугольного треугольника ABC:

Геометрия: Планиметрия в тезисах и решениях. 9 класс

Ответ: 147/8.

Задачи для самостоятельного решения

118. В равнобедренный треугольник вписан параллелограмм так, что угол параллелограмма совпадает с углом при вершине треугольника, а вершина противолежащего угла лежит на основании. Докажите, что периметр параллелограмма есть величина постоянная для данного треугольника. (1)

119. Из точки D, лежащей на катете АС прямоугольного треугольника ABC, на гипотенузу СВ опущен перпендикуляр DE. Найдите длину CD, если СВ = 15, АВ = 9, СЕ = 4. (1)

120. Точка на гипотенузе, равноудаленная от обоих катетов, делит гипотенузу на отрезки длиной 30 и 40 см. Найдите катеты треугольника. (1)

121. В параллелограмме ABCD проведена диагональ BD и отрезок AF (F ? ВС), пересекающий BD в точке О. Известно, что ВО = 6, OD = 18, FB = 4. Определите сторону параллелограмма AD. (1)

122. В острый угол, равный 60°, вписаны две окружности, извне касающиеся друг друга. Радиус меньшей окружности равен 1. Найдите радиус большей окружности. (1)

123. Найдите длину стороны квадрата, вписанного в равнобедренный треугольник с основанием а и боковой стороной b так, что две его вершины лежат на основании, а две другие вершины – на боковых сторонах. (2)

124. В параллелограмме ABCD точка М– середина стороны СВ, N – середина стороны CD. Докажите, что прямые AM и AN делят диагональ BD на три равные части. (2)

125. В трапеции, основания которой равны а и b, через точку пересечения диагоналей проведена прямая, параллельная основаниям. Найдите длину отрезка этой прямой, отсекаемого боковыми сторонами трапеции. (2)

126. В остроугольном треугольнике ABC из вершин А и С на стороны ВС и АВ опущены высоты АР и CQ. Известно, что площадь треугольника ABC равна 18, площадь треугольника BPQ равна 2, а длина отрезка PQ равна 2?2. Вычислите радиус окружности, описанной около треугольника ABC. (3)

2.6. Задачи на вписанные и описанные четырёхугольники

Если в четырёхугольник можно вписать окружность, то суммы его противоположных сторон равны.

Если около четырёхугольника можно описать окружность, то суммы противоположных углов равны 180°.

Примеры решения задач

127. Известно, что в трапецию ABCD с основаниями AD и ВС можно вписать окружность и около неё можно описать окружность, EF – её средняя линия. Известно, что АВ + CD + EF = 18. Найдите периметр трапеции (рис. 188). (1)

Геометрия: Планиметрия в тезисах и решениях. 9 класс

Рис. 188.


Решение. Так как в трапецию можно вписать окружность, то

Геометрия: Планиметрия в тезисах и решениях. 9 класс

Поскольку около трапеции можно описать окружность, то АВ = CD. Пусть АВ = CD = а; тогда из (1) следует AD + ВС = 2а и

Геометрия: Планиметрия в тезисах и решениях. 9 класс

По условию АВ + CD + EF = 18; тогда с учетом (2) получаем: а + а + а = 18; а = 6. Периметр трапеции PABCD = АВ + CD + AD + BC = 2(АВ + CD) = 4а = 24.

Ответ: 24.


128. Около окружности с диаметром 15 см описана равнобедренная трапеция с боковой стороной, равной 17 см. Найдите основания трапеции (рис. 189). (2)

Геометрия: Планиметрия в тезисах и решениях. 9 класс

Рис. 189.


Решение. Очевидно, что высота трапеции равна диаметру окружности. Высота ВК = 15 см; из прямоугольного треугольника АВК

Геометрия: Планиметрия в тезисах и решениях. 9 класс

Пусть BС = х, тогда AD = 8 + х + 8 = х + 16. Так как в трапецию вписана окружность, то AD + ВС = АВ + CD; х + 16 + х = 17 + 17; х = 9 см; AD = 9 + 16 = 25 см.

Ответ: 9 см; 25 см.

Задачи для самостоятельного решения

129. Четырёхугольник ABCD описан около окружности с центром О. Найдите сумму углов АОВ и COD. (1)

130. Определите площадь круга, вписанного в прямоугольную трапецию с основаниями а и b. (2)

131. Длины боковых сторон трапеции равны 3 и 5. Известно, что в трапецию можно вписать окружность. Средняя линия трапеции делит её на две части, отношение площадей которых равно 5/11. Найдите длины оснований трапеции. (3)

2.7. Задачи на вписанные углы

Вписанный в окружность угол равен половине центрального угла, опирающегося на ту же дугу.

Примеры решения задач

132. Найдите ?ТОК, если О – центр окружности и ?ТЕК = 120° (рис. 190).(1)

Геометрия: Планиметрия в тезисах и решениях. 9 класс

Рис. 190.


Решение. Так как вписанный угол ТЕК равен половине центрального угла, опирающегося на ту же дугу, то

Геометрия: Планиметрия в тезисах и решениях. 9 класс

Ответ: 120°


133. Дан правильный 30-угольник А1А2 ... А30 с центром О. Найдите угол между прямыми ОА3 и А1А4 (рис. 191). (2)

Геометрия: Планиметрия в тезисах и решениях. 9 класс

Рис. 191.


Решение. Так как многоугольник А1А2 ... A30 – правильный, то ?А3ОА4 = 360°/30 = 12°. Далее, ?А3А1А4 = 1/2 ?А3ОА4 = 6° (вписанный угол, опирающийся на дугу А3А4). ?А1ОА3 = 2 ? 12° = 24°;

Геометрия: Планиметрия в тезисах и решениях. 9 класс

Требуемый нам угол х является внешним углом к треугольнику А3А1В. Так как внешний угол треугольника равен сумме внутренних углов, с ним не смежных, то х = 6° + 78° = 84°.

Ответ: 84°.


134. В окружность вписан четырёхугольник ABCD, диагонали которого взаимно перпендикулярны и пересекаются в точке Е. Прямая, проходящая через точку Е и перпендикулярная к АВ, пересекает сторону CD в точке М. Доказать, что ЕМ – медиана треугольника CED, и найти её длину, если AD = 8 см, АВ = 4 см и ?CDB = ? (рис. 192). (3)

Геометрия: Планиметрия в тезисах и решениях. 9 класс

Рис. 192.


Решение. Обозначим через К точку пересечения прямых АВ и ЕМ. Поскольку углы CDB и CAB опираются на одну и ту же дугу ВС, то ?CAB = ?CDB = ?. Из равенств ?DCE + CDB = ?/2, ?КЕА + ?САВ = ?/2, следует, что ?DCE = ?КЕА = ?СЕМ. Но это означает, что треугольник СЕМ равнобедренный, т. е. СМ = ЕМ. Далее, ?MED = ?/2 – ?СЕМ = ?/2 – (?/2 – ?) = ?CDB.

Итак, треугольник EMD равнобедренный, или DM = ЕМ. Этим доказано, что СМ = DM или что ЕМ – медиана треугольника CED.

Из прямоугольного треугольника ABE находим

АЕ = АВ ? cos?ЕАВ = АВ ? cos?CAB = 4 ? cos ?.

Далее, из прямоугольного треугольника AED по теореме Пифагора получаем

Геометрия: Планиметрия в тезисах и решениях. 9 класс

и, наконец,

Геометрия: Планиметрия в тезисах и решениях. 9 класс

Ответ:

Геометрия: Планиметрия в тезисах и решениях. 9 класс

Задачи для самостоятельного решения

135. Окружности с центрами О и О1 касаются внутренним образом. Найдите угол В (рис. 193). (1)

Геометрия: Планиметрия в тезисах и решениях. 9 класс

Рис. 193.


136. Точка находится внутри круга радиуса 6 и делит проходящую через неё хорду на отрезки длиной 5 и 4. Найдите расстояние от точки до окружности. (2)

137. а) Докажите, что

Геометрия: Планиметрия в тезисах и решениях. 9 класс

(рис. 194);

Геометрия: Планиметрия в тезисах и решениях. 9 класс

Рис. 194.


б) докажите, что

Геометрия: Планиметрия в тезисах и решениях. 9 класс

(рис. 195). (3)

Геометрия: Планиметрия в тезисах и решениях. 9 класс

Рис. 195.


138. Диагональ BD четырёхугольника ABCD является диаметром окружности, описанной около этого четырёхугольника. Вычислить длину диагонали АС, если BD = 2, AB = 1, ?ABD:?DBC = 4:3. (3)

2.8. Задачи на пропорциональность отрезков хорд и секущих окружности

Напомним свойства хорд и секущих (рис. 196).

Геометрия: Планиметрия в тезисах и решениях. 9 класс

Рис. 196.


Для обоих случаев ОА ? ОВ = ОС ? OD.

В частности, если А совпадает с В (ОА – касательная), то ОА2= ОС ? OD.

Примеры решения задач

139. Дано (рис. 197):

ОА = 4, АВ = 3, CD = 2. Найдите ОС. (1)

Геометрия: Планиметрия в тезисах и решениях. 9 класс

Рис. 197.


Решение. Пусть ОС = х, тогда ОА ? ОВ = ОС ? OD; 4 ? 7 = х(х + 2);

Геометрия: Планиметрия в тезисах и решениях. 9 класс

Ответ:

Геометрия: Планиметрия в тезисах и решениях. 9 класс

140. Стороны прямоугольника равны а и b. На стороне а, как на диаметре, построена окружность. На какие отрезки окружность делит диагональ прямоугольника (рис. 198)? (2)

Геометрия: Планиметрия в тезисах и решениях. 9 класс

Рис. 198.


Решение. Из точки С проведена секущая СА и касательная CD к окружности. По известному свойству имеем: СР ? СА = CD 2;

Геометрия: Планиметрия в тезисах и решениях. 9 класс

Ответ:

Геометрия: Планиметрия в тезисах и решениях. 9 класс

Задача для самостоятельного решения

141. ОА – касательная; ОВ = 4; ВС = 3. Найдите длину ОА (рис. 199). (1)

Геометрия: Планиметрия в тезисах и решениях. 9 класс

Рис. 199.

2.9. Задачи на использование дополнительных построений, вспомогательных фигур и геометрических преобразований

Задачи с использованием геометрических преобразований, дополнительных построений и вспомогательных фигур достаточно редки в современных школьных учебниках, но именно в этих задачах, на наш взгляд, проявляется красота геометрии. Это не случайно, ведь благодаря проведенной «лишней» линии, осуществленному повороту, построению симметричной фигуры или вспомогательной окружности даже очень сложная задача может решиться «в одну строчку». За примерами далеко ходить не надо.

Примеры решения задач

142. Найдите длину окружности, описанной около трапеции, стороны которой равны а, а, а и 2а (рис. 200). (1)

Геометрия: Планиметрия в тезисах и решениях. 9 класс

Рис. 200.


Решение. Легко видеть, что трапецию ABCD можно достроить до правильного шестиугольника (см. рис.), но у правильного шестиугольника радиус описанной окружности равен стороне шестиугольника: Rокр = а. Длина окружности l = 2?Rокр = 2?а.

Ответ: 2?а.


143. Основания трапеции равны 4 см и 9 см, а диагонали равны 5 см и 12 см. Найти площадь трапеции и угол между её диагоналями (рис. 201). (2)

Геометрия: Планиметрия в тезисах и решениях. 9 класс

Рис. 201.


Решение. Пусть ABCD – данная трапеция, CD = 4 см, АВ = 9 см, BD = 5 см и АС = 12 см. Чтобы известные элементы включить в один треугольник, перенесём диагональ BD на вектор DC в положение СВ'. Рассмотрим треугольник АСВ'. Так как ВВ'CD – параллелограмм, то В'С = 5 см, АВ' = АВ + ВВ' = АВ + CD = 13 см. Теперь известны все три стороны треугольника АВ'С. Так как АС2+ В'С2= (АВ')2= 52+ 122= 132, то треугольник АВ'С – прямоугольный, причем ?АСВ' = 90°. Отсюда непосредственно следует, что угол между диагоналями трапеции, равный углу АСВ', составляет 90°. Площадь трапеции, как и всякого четырёхугольника, равна половине произведения диагоналей на синус угла между ними. Отсюда площадь равна 1/2AC ? BD ? sin 90° = 1/2 ? 12 ? 5 ? 1 = 30 см2.

Ответ: 30 см2, 90°.


144. Основание АВ трапеции ABCD вдвое длиннее основания CD и вдвое длиннее боковой стороны AD. Длина диагонали АС равна а, а длина боковой стороны ВС равна b. Найти площадь трапеции (рис. 202). (3)

Геометрия: Планиметрия в тезисах и решениях. 9 класс

Рис. 202.


Решение. Пусть АВ = 2с, тогда CD = AD = с. Продолжим боковые стороны ВС и AD до пересечения их в точке Е. Получим треугольник ВАЕ. Так как CD = 1/2АВ, то CD – средняя линия треугольника ABE. Отсюда получаем, что СЕ = ВС = b и DE = AD = с. Получилось, что АВ = АЕ. Следовательно, треугольник ВАЕ равнобедренный и АС – его медиана. Но в равнобедренном треугольнике медиана, проведённая к основанию, является высотой, поэтому площадь треугольника ВАЕ можно вычислить так:

Геометрия: Планиметрия в тезисах и решениях. 9 класс

Далее, т. к. треугольники DCE и ABE подобны с коэффициентом подобия k = 1/2, то площадь треугольника DCE равна 1/4 площади треугольника ABE (отношение площадей подобных треугольников равно квадрату коэффициента подобия). Площадь трапеции, таким образом, равна 3/4 площади треугольника ABE, то есть равна 3/4аb

4 3 Ответ: 3/4аb.


145. Внутри равностороннего треугольника ABC дана точка М, такая, что АМ = 1, ВМ = ?3 и СМ = 2. Найти длину АВ (рис. 203). (3)

Геометрия: Планиметрия в тезисах и решениях. 9 класс

Рис. 203.


Решение. Повернём треугольник АСМ вокруг точки С на 60°. Тогда точка А перейдёт в точку В, точка М – в некоторую точку D, треугольник АСМ – в треугольник BCD. При этом CD = СМ и ?MCD = 60°, следовательно, треугольник CDM – равносторонний, а значит, и ?CDM = ?DMC = 60°. С помощью поворота получен вспомогательный треугольник BDM. Заметим, что BD = AM = 1, ВМ = ?3, DM = CM = 2. Значит, треугольник BDM прямоугольный (ведь BM2+ BD2= (?3)2+ 12= DM2), ?DBM = 90° и ?BMD = 30° (противолежащий катет BD равен половине гипотенузы MD). Далее вычислим угол ВМС. ?ВМС = ?BMD + ?DMC = 30° + 60° = 90°. Применив теорему Пифагора к треугольнику ВСМ, найдём, что

Геометрия: Планиметрия в тезисах и решениях. 9 класс

Ответ: ?7.

Задачи для самостоятельного решения

146. Доказать, что медиана треугольника меньше полусуммы заключающих ее сторон. (1)

147. Туристы находятся на острове «А». Им надо прибыть на остров «В», – при этом сначала побывав на обоих берегах реки. Каков будет их кратчайший маршрут (рис. 204)? (2)

Геометрия: Планиметрия в тезисах и решениях. 9 класс

Рис. 204.


148. Средняя линия трапеции равна 4; отрезок, соединяющий середины оснований, равен 1; углы при основании трапеции равны 40° и 50°. Найдите длины оснований трапеции. (3)

2.10. Задачи, решаемые координатным и векторным методами

Вообще говоря, в данном случае речь идет не о частных идеях решения определенного класса задач, а об универсальных методах решения самых разнообразных геометрических проблем.

Суть метода состоит в том, что для решения задач вводится система координат (прямоугольная или аффинная), пишутся необходимые уравнения прямых, других фигур, по известным формулам находятся длины и углы.

Примеры решения задач

149. Даны точки А(-2; 1); В(1; 5); С(3; -2); D(6; 2). Является ли четырёхугольник ABCD параллелограммом? Ответ: обоснуйте. (1)

Решение. АВ = (3; 4); CD = (3; 4). Противоположные стороны четырёхугольника, таким образом, равны и параллельны. Значит, ABCD – параллелограмм.

Ответ: ABCD – параллелограмм.


150. В треугольнике ABC точка М – точка пересечения медиан. Выразите вектор AM через вектора АВ и АС (рис. 205). (2)

Геометрия: Планиметрия в тезисах и решениях. 9 класс

Рис. 205.


Решение. Медианы точкой пересечения делятся в отношении 2:1, считая от вершины, поэтому

Геометрия: Планиметрия в тезисах и решениях. 9 класс

Задачу можно решить проще, если достроить треугольник ABC до параллелограмма ABDC, тогда AM = 2/3 АК, но АК = 1/2 AD = 1/2 (АВ + АС). Отсюда сразу получаем, что AM = 1/3(АВ + АС).

Ответ: 1/3(АВ + АС).


151. В прямоугольнике ABCD точки М и N – середины сторон АВ и ВС. Точка О – точка пересечения AN и DM. Найдите AO/ON (рис. 206). (2)

Геометрия: Планиметрия в тезисах и решениях. 9 класс

Рис. 206.


Решение. Решим задачу аналитическим путём. Пусть А(0; 0); D (a; 0); B(0; b), тогда M(0; b/2); N(a/2; b). Напишем уравнения прямых AN и MD.

Геометрия: Планиметрия в тезисах и решениях. 9 класс

Точка О будет иметь координаты:

Геометрия: Планиметрия в тезисах и решениях. 9 класс
Геометрия: Планиметрия в тезисах и решениях. 9 класс

Ответ: 2:3.


152. ВМ: МС = 3:1, АК = КВ. Найдите: SAKO/SABC (рис. 207). (3)

Геометрия: Планиметрия в тезисах и решениях. 9 класс

Рис. 207.


Решение. См. задачу 105 (с. 88). Тогда мы решили её, применив теорему о пропорциональных отрезках. Здесь мы применим векторный подход и метод неопределенных коэффициентов.

Пусть ВА = а, ВС = b, АО = х ? AM, КО = у ? КС, тогда АО + ОК = АК, х ? АМ + (-у ? КС) = -1/2а.

Так как AM = AB + ВМ = – ВА + 3/4ВС = – а + 3/4b и КС = KB + ВС = -1/2ВА + ВС = -1/2а + b, то с учётом этого получаем уравнение: хAM + (-уКС) = -1/2а или х(-а + 3/4b) – у(-1/2а + b) = -1/2а. Приравнивая к нулю коэффициенты при векторах а и b, стоящих в левой и правой частях уравнения, получим систему:

Геометрия: Планиметрия в тезисах и решениях. 9 класс

х = 4/5, у = 3/5;

Итак,

Геометрия: Планиметрия в тезисах и решениях. 9 класс

значит,

Геометрия: Планиметрия в тезисах и решениях. 9 класс

Ответ: 3/10.


153. В выпуклом четырёхугольнике ABCD диагонали АС и BD пересекаются в точке F. Известно, что AF = CF = 2, BF = 1, DF = 4, ?BFC = ?/3.

Найти косинус угла между векторами АВ и DC (рис. 208). (3)

Геометрия: Планиметрия в тезисах и решениях. 9 класс

Рис. 208.


Решение:

Пусть ? – искомый угол между векторами АВ и DC тогда

Геометрия: Планиметрия в тезисах и решениях. 9 класс

Пользуясь свойствами скалярного произведения векторов и условиями задачи, вычислим АВ, DC и АВ ? DC. Так как

Геометрия: Планиметрия в тезисах и решениях. 9 класс

Теперь получаем, что

Геометрия: Планиметрия в тезисах и решениях. 9 класс

Ответ: 13/14.

Задачи для самостоятельного решения

154. Найдите геометрическое место точек, равноудалённых от данной прямой и данной точки. (2)

155. Продолжения сторон AD и ВС четырёхугольника ABCD пересекаются в точке Р. Точки М и N – середины сторон АВ и CD. Доказать, что если прямая MN проходит через точку Р, то ABCD – трапеция. (3)

156. Дан равнобедренный треугольник ABC, в котором проведены высота CD и перпендикуляр DE к боковой стороне ВС. Точка M – середина отрезка DE. Доказать, что отрезки АЕ и СМ перпендикулярны. (3)

157. Доказать, что для треугольника ABC и любой точки Р выполняется неравенство:

Геометрия: Планиметрия в тезисах и решениях. 9 класс

2.11. Разные задачи

Примеры решения задач

158. Можно ли утверждать, что треугольники равны по двум сторонам и медиане, проведенной к одной из этих сторон? Ответ: обоснуйте (рис. 209). (1)

Геометрия: Планиметрия в тезисах и решениях. 9 класс

Рис. 209.


Решение. Рассмотрим треугольники ABC и А1В1C1. Пусть AB = A1B1, BC = B1C1,AM = A1M1 (см. рис). Так как ВС = В1С1, то ВМ = В1М1 ?АВМ = ?A1B1M1 (по трём сторонам), значит, ?В = ?B1. В этом случае ?ABC = ?A1B1C1 по двум сторонам и углу между ними.

Ответ: да.


159. Определите острые углы прямоугольного треугольника, если медиана, проведённая к его гипотенузе, делит прямой угол в отношении 2:1 (рис. 210). (1)

Геометрия: Планиметрия в тезисах и решениях. 9 класс

Рис. 210.


Решение. Нарисуем треугольник ABC, где ?ВАС = 3? = 90°. Медиана AD равна длинам BD и CD, так как D – середина гипотенузы, а, значит, является центром описанной около треугольника окружности. Пусть для определённости ?BAD = 2?, ?DAC =?. Очевидно, что 2? + ? = 90°, ? = 30°. Учитывая, что треугольники BDA и DAC – равнобедренные, получаем:?В = 2? = 60°, ?С = ? = 30°.

Ответ: 60°, 30°.


160. Дан произвольный четырёхугольник ABCD. Точки М, N, Р, Q – середины его сторон. Докажите, что MNPQ – параллелограмм (рис. 211). (1)

Геометрия: Планиметрия в тезисах и решениях. 9 класс

Рис. 211.


Решение. Из условия задачи и чертежа видно, что MN – средняя средняя линия ?ABC и QP средняя линия ?ACD. Поэтому MN = 1/2АС и MN||AC; QP = 1/2АС и QP||АС. В итоге получаем, что MN = QP и MN||QP. Поэтому, по признаку параллелограмма четырёхугольник MNPQ – параллелограмм.


161. Диагонали АС и BD трапеции ABCD пересекаются в точке О. Докажите, что треугольник АОВ и COD имеют одинаковые площади (рис. 212). (2)

Геометрия: Планиметрия в тезисах и решениях. 9 класс

Рис. 212.


Решение. Обозначим через h высоту трапеции. Запишем равенства:

Геометрия: Планиметрия в тезисах и решениях. 9 класс

162. Стороны треугольника образуют арифметическую прогрессию. Доказать, что радиус окружности, вписанной в треугольник, равен 1/3 высоты, проведённой к средней по величине стороне треугольника. (3)

Решение. Пусть стороны а, b, с треугольника ABC образуют арифметическую прогрессию с разностью d. Будем считать, что а ? b ? с. тогда a = b – d, c = b + d, периметр Р = 2р = 3b.

Воспользуемся формулой r = S/P, получим r = 2S/3b. А так как S = 1/2bhb, то r = 1/3hb.

Задачи для самостоятельного решения

163. Диагонали трапеции делят её среднюю линию на три равные части. Как относятся основания этой трапеции? (1)

164. Докажите, что середины сторон равнобокой трапеции являются вершинами ромба. (1)

165. В параллелограмме, смежные стороны которого не равны, проведены биссектрисы четырех углов. Докажите, что при их пересечении образуется прямоугольник. (2)

166. Площадь четырёхугольника равна S. Найдите площадь параллелограмма, стороны которого равны и параллельны диагоналям четырёхугольника. (2)

167. Докажите, что в параллелограмме ABCD расстояния от любой точки диагонали АС до прямых ВС и CD обратно пропорциональны длинам этих сторон. (2)

168. В выпуклом четырёхугольнике длины диагоналей равны одному и двум метрам. Найти площадь четырёхугольника, зная, что длины отрезков, соединяющих середины его противоположных сторон, равны. (1)

Глава 3

Билеты по геометрии

§ 1. Экзаменационный комплект № 1 (зачётная работа)

Билет № 1

1. Признаки параллельности прямых (формулировки и примеры).

2. Решение треугольника по стороне и двум углам.

3. Углы ADC и ABC вписаны в окружность, ?ABC = 74°. Найдите градусную меру ?ADC (рис. 213).

Геометрия: Планиметрия в тезисах и решениях. 9 класс

Рис. 213.


4. Дуги А1В1 и А2В2 равной длины 1 принадлежат разным окружностям с радиусами R1 и R2. Найдите отношение градусных мер центральных углов, соответствующих этим дугам.

Билет № 2

1. Свойство углов, образованных при пересечении двух параллельных прямых третьей прямой (формулировки и примеры).

2. Решение треугольника по двум сторонам и углу между ними.

3. В треугольнике ABC отмечены точки D и Е, которые являются серединами сторон АВ и ВС соответственно. Найдите периметр четырёхугольника ADEC, если АВ = 24 см, ВС = 32 см и АС = 44 см.

4. Расстояние от точки А до точек В и С равны 3 см и 14 см соответственно, а расстояния от точки D до точек В и С равны 5 см и 6 см соответственно. Докажите, что точки А, В, С и D лежат на одной прямой.

Билет № 3

1. Третий признак равенства треугольников (формулировки и пример).

2. Теорема об углах, вписанных в окружность.

3. Найдите площадь круга, вписанного в правильный шестиугольник, сторона которого равна 4 см.

4. Докажите, что отрезок, соединяющий середины диагоналей трапеции, параллелен основаниям трапеции и равен полуразности оснований.

Билет № 4

1. Теорема о сумме углов треугольника (формулировка и пример).

2. Решение треугольника по трём сторонам.

3. В трапеции ABCD с основаниями AD = 12 см и ВС = 8 см проведена средняя линия ML, которая пересекает диагональ АС в точке К. Чему равны отрезки МК и KL?

4. Из одной точки к двум касающимися внешним образом окружностям проведены три касательные, причем одна из них проходит через точку касания окружностей. Докажите, что касательные равны.

Билет № 5

1. Определение синуса острого угла прямоугольного треугольника. Пример его применения для решения прямоугольных треугольников.

2. Свойство углов равнобедренного треугольника.

3. Из точки D, лежащей на катете АС прямоугольного треугольника ABC, опущен на гипотенузу СВ перпендикуляр DE. Найдите отрезок CD, если СВ = 15 см, АВ = 9 см и СЕ = 4 см.

4. Точки К и L – середины сторон AD и ВС параллелограмма ABCD. Докажите, что прямые AL и СК делят диагональ BD на три равные части.

Билет № 6

1. Определение косинуса острого угла прямоугольного треугольника. Пример его применения для решения прямоугольных треугольников.

2. Признак равнобедренного треугольника.

3. Прямая, параллельная основанию равнобедренного треугольника ABC, пересекает боковые стороны АВ и АС в точках М и N. Докажите, что треугольник MAN – равнобедренный.

4. В прямоугольный равнобедренный треугольник вписан прямоугольник так, что угол прямоугольника совпадает с углом при вершине треугольника, а вершина противолежащего угла лежит на гипотенузе. Докажите, что периметр прямоугольника есть величина постоянная для данного треугольника.

Билет № 7

1. Определение тангенса острого угла прямоугольного треугольника. Пример его применения для решения прямоугольных треугольников.

2. Свойство медианы равнобедренного треугольника.

3. В параллелограмме ABCD проведена диагональ BD и отрезок

Геометрия: Планиметрия в тезисах и решениях. 9 класс

пересекающий BD в точке О. Известно, что ВО = 6 см, OD = 18 см. Определите сторону параллелограмма AD, если FB = 4 см.

4. Докажите, что в ромб можно вписать окружность.

Билет № 8

1. Теорема косинусов. Пример ее применения для решения треугольников.

2. Окружность, вписанная в треугольник. Теорема о центре окружности, вписанной в треугольник.

3. В треугольниках ADB и AFC: AD = DB, AF = FC. Докажите, что DB||FC (рис. 214).

Геометрия: Планиметрия в тезисах и решениях. 9 класс

Рис. 214.


4. Докажите, что если диагонали четырёхугольника ABCD взаимно перпендикулярны, то AB2+ CD2= BС2+ AD 2.

Билет № 9

1. Теорема синусов. Пример её применения для решения треугольников.

2. Окружность, описанная около треугольника. Теорема о центре окружности, описанной около треугольника.

3. Найдите углы равнобедренного треугольника, если внешний угол при основании равен 112°.

4. Углы при основании трапеции равны 60° и 45°, высота трапеции равна 6 см. Найдите боковые стороны трапеции.

Билет № 10

1. Построение с помощью циркуля и линейки треугольника по трем сторонам.

2. Сложение векторов. Свойства сложения векторов.

3. Сумма углов выпуклого многоугольника равна сумме его внешних углов, взятых по одному при каждой вершине. Найдите число сторон этого многоугольника.

4. В прямоугольном треугольнике ABC (?С – прямой) проведена высота CD. Докажите, что если ?СВА = 30°, то АВ: BD = 4:3.

Билет № 11

1. Построение с помощью циркуля и линейки угла, равного данному.

2. Умножение вектора на число. Свойства произведения вектора на число.

3. Радиус окружности равен 7 см. Найдите периметр описанного около нее правильного четырёхугольника.

4. Докажите, что в равностороннем треугольнике расстояние от точки пересечения двух биссектрис до стороны в два раза меньше расстояния от этой же точки до вершины.

Билет № 12

1. Построение с помощью циркуля и линейки биссектрисы угла.

2. Неравенство треугольника.

3. В параллелограмме сумма двух противолежащих углов равна 132°. Найдите градусную меру каждого из этих углов.

4. На диаметре окружности построен равносторонний треугольник. Определите градусную меру дуг, на которые стороны треугольника делят полуокружность.

Билет № 13

1. Построение с помощью циркуля и линейки перпендикулярной прямой.

2. Признаки подобия треугольников (доказательство одного из них).

3. Прямоугольник вписан в окружность радиуса 5 см. Одна из его сторон равна 8 см. Найдите другие стороны прямоугольника.

4. Угол DFG вписан в окружность с центром в точке О. Найдите градусную меру ?DOG, если ?DFG = 150° (рис. 215).

Геометрия: Планиметрия в тезисах и решениях. 9 класс

Рис. 215.

Билет № 14

1. Деление отрезка пополам с помощью циркуля и линейки.

2. Теорема о средней линии треугольника.

3. Диагонали ромба равны 10 см и 24 см. Найдите стороны ромба.

4. Периметр равностороннего треугольника равен 36 см, а периметр равнобедренного – 40 см. Найдите стороны данных треугольников, если они имеют общее основание.

Билет № 15

1. Свойства параллелограмма (формулировки и примеры).

2. Теорема о внешнем угле треугольника.

3. В треугольнике AEF проведена биссектриса AD угла А, на сторонах угла от его вершины отложены равные отрезки АВ и АС. Докажите равенство треугольников BAD и CAD.

4. Около окружности описана равнобокая трапеция, у которой боковая сторона точкой касания делится на отрезки 4 см и 9 см. Найдите площадь трапеции.

Билет № 16

1. Теорема о средней линии трапеции (формулировка и пример).

2. Теорема о сумме углов выпуклого многоугольника.

3. Даны две концентрические окружности с центром в точке О. АС и BD – диаметры этих окружностей. Докажите, что ?АВО = ?CDO.

4. Один из углов равнобедренного треугольника 120°. Найдите отношение сторон этого треугольника.

Билет № 17

1. Формулы для радиусов вписанных и описанных окружностей правильного n-угольника (формулы и примеры).

2. Свойство диагоналей ромба.

3. BD – медиана равнобедренного треугольника ABC (АВ = ВС). Найдите ее длину, если периметр треугольника ABC равен 50 см, а периметр ?ABD равен 30 см.

4. Точки М, N и P лежат соответственно на сторонах АВ, ВС и АС треугольника ABC, причем MN||AC, NP||АВ. Найдите стороны четырёхугольника AMNP, если АВ = 16 см, АС = 24 см, PN: MN = 2:3.

Билет № 18

1. Формулы для радиусов вписанных и описанных окружностей правильного треугольника, правильного четырёхугольника, правильного шестиугольника (формулы и примеры).

2. Свойство диагоналей прямоугольника.

3. На сторонах угла Q отложены равные отрезки QR и QP. Через точки R и P проведена прямая. Определите ?QRP, если ?RPQ = 67°.

4. Докажите, что биссектриса внешнего угла при вершине равнобедренного треугольника параллельна его основанию.

Билет № 19

1. Формула длины окружности (формула и пример).

2. Первый признак равенства треугольников.

3. Найдите площадь квадрата, если его диагональ равна 5 см.

4. Сколько сторон имеет выпуклый многоугольник, у которого все углы равны, если сумма его внешних углов с одним из внутренних равна 468°?

Билет № 20

1. Формулы площади треугольника (формулы и примеры).

2. Признаки параллелограмма.

3. Докажите, что общая хорда двух пересекающихся окружностей перпендикулярна линии центров.

4. Средняя линия описанной около окружности трапеции равна 4. Найдите периметр трапеции.

Билет № 21

1. Формулы площади прямоугольника и параллелограмма (формулы и примеры).

2. Второй признак равенства треугольников.

3. На сколько увеличится или уменьшится длина окружности, если ее радиус увеличить на 10 см.

4. Докажите, что середины сторон равнобокой трапеции являются вершинами ромба.

Билет № 22

1. Формула площади трапеции (формула и пример).

2. Признаки равенства прямоугольных треугольников.

3. Даны точки А (1, -3) и В (2, 0). Найдите такую точку С (х, у), чтобы векторы АВ и СА были равны.

4. Точка касания окружности, вписанной в равнобедренный треугольник, делит боковую сторону на отрезки, равные 3 см и 4 см, считая от основания. Найдите периметр треугольника.

Билет № 23

1. Формула площади круга (формула и пример).

2. Теорема Пифагора.

3. Докажите, что центр окружности, описанной около равнобедренного треугольника, лежит на медиане, проведенной к основанию.

4. Найдите геометрическое место середин равных хорд окружности.

§ 2. Экзаменационный комплект № 2 (базовый уровень)

Билет № 1

1. Равенство фигур. Признаки равенства треугольников (доказательство одного из них).

2. Критерий описанного около окружности четырёхугольника (без доказательства).

3. Точка С – середина отрезка АВ. Найдите длину отрезка АС в дециметрах, если АВ = 7 м 58 см.

4. В прямоугольнике ABCD AD = 12 см, CD = 5 см, О – точка пересечения диагоналей. Найдите

Геометрия: Планиметрия в тезисах и решениях. 9 класс

5. В треугольнике ABC угол А = углу В = 75°. Найдите ВС, если площадь треугольника равна 36 см2.

Билет № 2

1. Сумма углов треугольника (с доказательством). Вывод формулы суммы углов выпуклого n-угольника.

2. Критерий вписанного в окружность четырёхугольника (без доказательства).

3. Основания трапеции относятся как 2:3, а высота равна 6 см. площадь трапеции 60 см2. Найдите основания трапеции.

4. В прямоугольном треугольнике ABC АВ = 6 см, АС = 8 см. ВС = 10 см. Найдите расстояние:

а) от точки В до прямой АС;

б) от точки С до прямой АВ.

Может ли расстояние от точки А до прямой СВ быть равным 7 см?

5. Точка М принадлежит отрезку РК, причем РМ: МК = 2:1. Найдите координаты точки К, если координаты точек Р и М равны (6; 3) и (14; 9) соответственно.

Билет № 3

1. Геометрическое место центров описанной около треугольника и вписанной в треугольник окружностей (с доказательством).

2. Площадь четырёхугольника (без вывода).

3. Даны треугольник ABC и точка М на отрезке ВС. Выразите:

а) вектор СВ через векторы АС и АВ;

б) вектор МА через векторы ВА и ВМ.

4. В ромбе ABCD, где угол А острый, BE и BF – высоты. Угол между диагональю BD и высотой BF равен 40°:

а) докажите, что BE = BF.

б) найдите углы ромба.

5. В треугольнике ABC точки F и М лежат соответственно на сторонах АВ и ВС, причем CF = AM, а угол MAC = углу FCA. Докажите, что треугольник ABC равнобедренный.

Билет № 4

1. Свойства параллелограмма (с доказательством).

2. Геометрическое введение синуса, косинуса, тангенса котангенса. Значения sin, cos, tg, ctg от углов 30°, 45°, 60°.

3. Прямой угол ADB разделен лучом DC на два угла, из которых один больше другого на 8°. Найдите градусные меры этих углов.

4. В равнобедренной трапеции ABCD угол А = 30°, угол ACD = 135°, AD = 20 см, ВС = 10 см:

а) докажите, что АС – биссектриса угла ВАС;

б) найдите периметр трапеции.

5. В треугольнике ABC АВ = 17 см, ВС = 25 см. Высота BD равна 15 см. Найдите площадь треугольника.

Билет № 5

1. Свойства ромба, прямоугольника, квадрата (с доказательством).

2. Уравнение прямой (без вывода). Смысл коэффициента k в уравнении у = kx + b (без обоснования).

3. Периметр треугольника равен 35 см. Найдите отрезки, на которые биссектриса треугольника делит противоположную сторону, если две другие стороны треугольника равны 12 и 16 см.

4. Найдите радиус окружности, вписанной в треугольник со сторонами 20, 20 и 24 см.

5. Как изменится длина окружности, если площадь соответствующего ей круга уменьшится в 441 раз?

Билет № 6

1. Теорема Фалеса (с доказательством).

2. Вектор. Действия над векторами. Базис на плоскости. Теорема о разложении вектора по базису (без доказательства).

3. Дана трапеция ABCD. Постройте фигуру, на которую отображается данная трапеция при центральной симметрии с центром А.

4. В треугольнике ABC CD – медиана. Найдите площадь треугольника BDC, если АС = 10 см, ВС = 20 см и угол АСВ = 135°.

5. На рисунке изображена окружность с центром О, АВ = DE. Докажите, что угол АОЕ равен углу BOD (рис. 216).

Геометрия: Планиметрия в тезисах и решениях. 9 класс

Рис. 216.

Билет № 7

1. Свойство средней линии треугольника и трапеции (с доказательством).

2. Длина окружности и площадь круга (без вывода).

3. На рис. 217 угол 1 = 67°, угол 2 = 127°, угол 4 = 67°. Найдите угол 3 (рис. 217).

Геометрия: Планиметрия в тезисах и решениях. 9 класс

Рис. 217.


4. Диагонали параллелограмма ABCD пересекаются в точке О. Найдите х, у, z, если:

а) АС = х ? АО; б) ВО = у ? DB; в) АВ = z ? CD.

5. В треугольнике ABC АВ = ВС, BD – высота. Через середину высоты проведена прямая, пересекающая стороны АВ и ВС в точках Е и F соответственно. Найдите EF, если BD = h, угол ABC = ?, угол BEF = ?.

Билет № 8

1. Теорема Пифагора (с доказательством).

2. Пропорциональность отрезков хорд и секущих окружности (без вывода).

3. Найдите синус, косинус и тангенс острых углов А и В прямоугольного треугольника ABC, если АВ = 13 см, ВС = 12 см.

4. В прямоугольнике ABCD сторона AD равна 10 см. Расстояние от точки пересечения диагоналей до этой стороны равно 3 см. Найдите площадь прямоугольника.

5. В равнобедренном треугольнике ABC с основанием АС серединный перпендикуляр стороны АВ пересекает сторону ВС в точке Р. Найдите угол РАС, если угол ВСА = 65°.

Билет № 9

1. Координаты на плоскости. Расстояние между точками (с выводом).

2. Признаки подобия треугольников (без доказательств).

3. Параллельны ли прямые a и b, изображенные на рисунке (рис. 218).

Геометрия: Планиметрия в тезисах и решениях. 9 класс

Рис. 218.


4. В прямоугольном треугольнике с углом 30° и меньшим катетом – 6 см проведены средние линии. Найдите периметр треугольника, образованного средними линиями.

5. АВ и АС – касательные к окружности с центром О (С и В – точки касания). Найдите градусную меру меньшей из дуг ВС, если расстояние от центра окружности до точки А равно 8 см, а до хорды ВС – 6 см.

Билет № 10

1. Уравнение фигуры. Уравнение окружности (с выводом).

2. Формула для радиуса вписанной в треугольник окружности (без вывода).

3. Найдите площадь равностороннего треугольника со стороной а = 2.

4. В параллелограмме две стороны равны 2 и 3 см, а один из углов 120°. Найдите длину меньшей диагонали параллелограмма.

5. Стороны треугольника равны 4 и 5, а угол между ними 60°. Найдите высоту h, опущенную на третью сторону треугольника.

Билет № 11

1. Скалярное произведение векторов. Угол между векторами (с выводом).

2. Формулы для радиуса описанной около треугольника окружности (без вывода).

3. В остроугольном треугольнике ABC высоты АА1 и ВВ1 пересекаются в точке О. Найдите угол ОСА, если угол BAС = 58°.

4. Длина стороны многоугольника равна 3 м, а длина сходственной стороны подобного ему многоугольника равна 48 дм. Найдите периметры этих многоугольников, если их разность составляет 9 м.

5. На рис. 219 ABCD – прямоугольник, AM = BN = СК = DP. Докажите, что MNKP – параллелограмм.

Геометрия: Планиметрия в тезисах и решениях. 9 класс

Рис. 219.

Билет № 12

1. Теорема о величине вписанного в окружность угла (с доказательством).

2. Аксиомы, теоремы, определения. Пример аксиом.

3. В треугольнике ABC проведена биссектриса AK. Найдите угол В, если угол С = 33°, угол АКС = 110°.

4. В треугольнике две стороны равны 10 и 12 см, а угол между ними 45°. Найдите площадь треугольника.

5. Точка М лежит на диагонали АС параллелограмма ABCD, а точка Н – на его стороне AD, причем AM: МС = 2:1, АН = HD. Выразите вектор MN через векторы а и р где вектор а равен вектору АВ и вектор p равен вектору AD.

Билет № 13

1. Теорема косинусов (с выводом).

2. Виды движений на плоскости.

3. Стороны параллелограмма равны 8 и 10 см, угол между ними 60°. Найдите площадь параллелограмма.

4. Длина одного отрезка на 1 см больше второго и на 4 см больше третьего. Могут ли эти отрезки быть сторонами треугольника, периметр которого равен 10 см?

5. Каждая из боковых сторон и меньшее основание трапеции равны 5 см, а один из его углов равен 60°. Найдите радиус окружности, описанной около нее.

Билет № 14

1. Теорема синусов (с выводом).

2. Признаки параллельных прямых (без доказательства).

3. Подобны ли два треугольника ABC и А1В1С1, если АС = 14 см, А1В1 = 22 см, В1С1 = 26 см, А1C1 = 28 см, АВ = 11 см, ВС = 13 см.

4. Сторона описанного правильного четырёхугольника на ?3 больше стороны правильного треугольника, вписанного в ту же окружность. Найдите сторону четырёхугольника.

5. Окружность с центром О касается сторон МК, КТ и ТМ треугольника МКТ в точках А, В и С соответственно. Найдите углы треугольника ABC, если угол МКТ = 42°, угол КМТ = 82°.

Билет № 15

1. Многоугольники. Правильные многоугольники. Основные формулы для правильных n-угольников (с выводом).

2. Формула Герона (без вывода).

3. Через вершину А треугольника ABC с прямым углом С проведена прямая AD, параллельная стороне ВС. Найдите угол В треугольника, если угол DAB = 43°.

4. В треугольнике АВС АВ = 15 м, АС = 20 м, ВС = 32 м. На стороне АВ отложен отрезок AD = 9 м, а на стороне АС – отрезок АЕ = 12 м. Найдите DE.

5. Каким должен быть радиус окружности, чтобы ее длина была равна разности длин двух окружностей с радиусами 37 и 15 см?

Билет № 16

1. Касательная к окружности, ее свойство (с доказательством).

2. Формулы площади треугольника и трапеции (без вывода).

3. Один из углов прямоугольного треугольника равен 30°, а сумма гипотенузы и меньшего катета равна 36 см. Найдите стороны треугольника.

4. Через вершину С параллелограмма ABCD проведена прямая HP так, что точка С лежит между точками Н и Р, которые принадлежат прямым АВ и AD соответственно:

а) докажите, что BH ? DP = ВС ? CD;

б) найдите косинус угла CDP, если синус угла НВС = 3/5.

5. Через центр квадрата ABCD проведены две взаимно перпендикулярные прямые, каждая из которых пересекает противоположные стороны квадрата. Докажите, что отрезки этих прямых, заключенные внутри квадрата, равны между собой.

Билет № 17

1. Свойство биссектрисы треугольника (с доказательством).

2. Прямая, обратная, противоположная и обратная к противоположной теоремы. Сущность метода доказательства от противного.

3. Найдите углы правильного десятиугольника.

4. Даны точки М(0; 4), Р (2; 1), К (2; -2), Т (0; -5):

а) докажите, что четырёхугольник МРКТ – трапеция;

б) равны ли углы МРК и РКT?

5. Из вершины М тупого угла параллелограмма MNKP проведены перпендикуляры МН1 и МН2 к прямым NK и КР. Найдите углы параллелограмма, если угол Н1МН2 = 70°.

Билет № 18

1. Свойство точки пересечения медиан (с доказательством).

2. Теорема о пропорциональных отрезках (без доказательства).

3. BD является высотой равнобедренного треугольника ABC (АВ = ВС); угол ABD = 17°, AD = 9 см. Найдите углы DВС, ABC и основание АС.

4. В прямоугольнике МНРК диагонали пересекаются в точке О, РК = 2, угол МОК = 120°. Вычислите скалярное произведение векторов.

5. В треугольнике ABC АВ = 4,2 см, АС = 2,7 см, длина ВС выражается целым числом. Найдите её.

§ 3. Экзаменационный комплект № 3 (углубленный уровень)

Билет № 1

1. Признаки равенства треугольников.

2. Соотношение между вписанным и центральным углами в окружности, опирающимися на одну дугу.

3. В параллелограмме ABCD угол BCD равен 60°, длина стороны АВ равна а. Биссектриса угла BCD пересекает сторону AD в точке N. Найдите площадь треугольника NCD.

4. Дан правильный 30-угольник A1A2...A30 с центром О. Найдите угол между прямыми ОА3 и А1А4.

Билет № 2

1. Свойства равнобедренного треугольника.

2. Докажите, что если через произвольную точку S провести две прямые, пересекающие окружность в точках А, В и С, D соответственно, то AS ? BS = CS ? DS.

3. Квадрат со стороной 3 см срезан по углам так, что образовался правильный восьмиугольник. Найдите сторону восьмиугольника.

4. Найдите площадь равнобедренной трапеции, у которой высота равна 10, а диагонали взаимно перпендикулярны.

Билет № 3

1. Признаки равенства прямоугольных треугольников.

2. Окружность и круг. Длина окружности и площадь круга. Площадь кругового сектора и сегмента.

3. Сколько сторон имеет выпуклый многоугольник, у которого все углы равны, если сумма его внешних углов с одним из внутренних равна 468°?

4. Докажите, что в параллелограмме ABCD расстояния от любой точки диагонали АС до прямых ВС и CD обратно пропорциональны длинам этих сторон.

Билет № 4

1. Геометрическое место центра описанной около треугольника окружности.

2. Сумма углов выпуклого n-угольника.

3. Стороны прямоугольника равны а и b. На стороне а, как на диаметре, построена окружность. На какие отрезки окружность делит диагональ прямоугольника?

4. В треугольнике ABC на стороне ВС взята точка М так, что MB = МС, а на стороне АС взята точка К так, что АК = 3 ? КС. Отрезки ВК и AM пересекаются в точке О. Найдите AO/AM.

Билет № 5

1. Признаки подобия треугольников.

2. Многоугольники. Правильные многоугольники. Величина угла в правильном n-угольнике.

3. В параллелограмме с периметром 32 см проведены диагонали. Разность между периметрами двух смежных треугольников равна 8 см. Найдите длины сторон параллелограмма.

4. Точка находится внутри круга радиуса 6 и делит проходящую через неё хорду на отрезки длиной 5 и 4. Найдите расстояние от точки до окружности.

Билет № 6

1. Признаки параллельности прямых.

2. Теорема Пифагора.

3. Две окружности с радиусами R = 3 и r = 1 касаются внешним образом. Найдите расстояния от точки касания окружностей до их общих касательных.

4. Найдите длину стороны квадрата, вписанного в равнобедренный треугольник с основанием а и боковой стороной b так, что две его вершины лежат на основании, а две другие вершины – на боковых сторонах.

Билет № 7

1. Докажите, что если параллельные прямые пересечены третьей прямой, то образовавшиеся внутренние накрест лежащие углы равны.

2. Выведите формулу R = abc/4S, где R – радиус описанной около треугольника окружности; а, b, с – длины его сторон, S – площадь треугольника.

3. Длины параллельных сторон трапеции равны 25 и 4, а длины боковых сторон равны 20 и 13. Найдите высоту трапеции.

4. Сторона квадрата, вписанного в окружность, отсекает сегмент, площадь которого (2? – 4) см2. Найдите периметр квадрата.

Билет № 8

1. Касательная к окружности и её свойство. Виды касания окружностей.

2. Формула Герона.

3. Основание равнобедренного треугольника равно 4?2, медиана боковой стороны равна 5. Найдите длину боковой стороны.

4. В прямоугольнике ABCD точки М и N – середины сторон АВ и ВС. Точка О – точка пересечения AN и DM. Найдите AO/ON.

Билет № 9

1. Свойства параллелограмма.

2. Свойство биссектрисы треугольника; длина биссектрисы.

3. Из точки D, лежащей на катете АС прямоугольного треугольника ABC, на гипотенузу СВ опущен перпендикуляр DE. Найдите длину CD, если СВ = 15, АВ = 9, СЕ = 4.

4. Диаметр окружности радиуса R является основанием правильного треугольника. Вычислите площадь той части треугольника, которая лежит вне данного круга.

Билет № 10

1. Свойства и признаки ромба, прямоугольника, квадрата.

2. Теорема синусов. Докажите, что отношение сторон треугольника к синусам противолежащих углов равно диаметру описанной окружности.

3. Основание треугольника равно ?2. Найдите длину отрезка прямой, параллельной основанию и делящей площадь треугольника пополам.

4. В равнобедренной трапеции даны основания а = 21, b = 9 и высота h = 8. Найдите длину описанной окружности.

Билет № 11

1. Теорема Фалеса и её обобщение (теорема о пропорциональных отрезках).

2. Геометрическое введение синуса, косинуса, тангенса и котангенса угла. Решение прямоугольных треугольников.

3. В пересечение двух равных кругов вписан ромб с диагоналями 12 и 6 см. Найдите радиус окружностей.

4. Высота ромба равна 12, а одна из его диагоналей равна 15. Найдите площадь ромба.

Билет № 12

1. Свойство средней линии трапеции.

2. Основные тригонометрические тождества.

3. В треугольник вписана окружность с радиусом 4. Одна из сторон треугольника разделена точкой касания на отрезки, длины которых 6 и 8. Найдите длины сторон треугольника.

4. Параллелограмм ABCD, у которого АВ = 153, AD = 180, BE = 135 (BE – высота), разделён на три одинаковые по площади фигуры прямыми, перпендикулярными AD. На каком расстоянии от точки А находятся точки пересечения этих перпендикуляров с AD?

Билет № 13

1. Уравнение прямой и окружности. Геометрический смысл коэффициентов k и b в уравнении y = kx + b. Взаимное расположение прямой и окружности.

2. Площадь четырёхугольника.

3. Докажите, что середины сторон равнобокой трапеции являются вершинами ромба.

4. Определите стороны треугольника, если медиана и высота, проведённые из вершины одного угла, делят этот угол на три равные части, а сама медиана равна 10 см.

Билет № 14

1. Векторы; действия с векторами. Скалярное произведение векторов.

2. Свойство медиан треугольника. Длина медианы.

3. Из одной точки проведены к окружности две касательные, каждая длиной 12 см. Расстояние между точками касания 14,4 см. Определите радиус окружности.

4. Площадь равностороннего треугольника, построенного на гипотенузе прямоугольного треугольника, вдвое больше площади последнего. Определите углы прямоугольного треугольника.

Билет № 15

1. Признаки параллелограмма.

2. Теорема косинусов.

3. На основании равнобедренного треугольника, равном 8 см, как на хорде, построена окружность, касающаяся боковых сторон треугольника. Найдите радиус окружности, если длина высоты, опущенной на основание треугольника, равна 3 см.

4. В сектор с центральным углом в 60° вписан круг. При каком радиусе сектора площадь круга равна ??

Билет № 16

1. Критерий описанного около окружности четырёхугольника.

2. Значения синуса, косинуса, тангенса и котангенса углов I четверти.

3. В треугольнике ABC точка М – точка пересечения медиан. Выразите вектор AM через вектора АВ и АС.

4. Найдите площадь параллелограмма, если его диагонали равны 3 и 5, а острый угол параллелограмма – 60°.

Билет № 17

1. Геометрическое место центра вписанной в треугольник окружности.

2. Площадь параллелограмма.

3. Средняя линия трапеции равна 10 и делит площадь трапеции в отношении 3:5. Найдите длины оснований этой трапеции.

4. В треугольнике ABC проведены высоты AD и СЕ. Докажите, что треугольники ABC и DBE подобны. Чему равен коэффициент подобия?

Билет № 18

1. Теорема о разложении вектора по базису.

2. Докажите, что S = рr, где S– площадь треугольника, p – полупериметр треугольника, r – радиус вписанной окружности.

3. Известно, что в трапецию ABCD с основаниями AD и ВС можно вписать окружность и около неё можно описать окружность, EF – её средняя линия. Известно, что АВ + CD + EF = 18. Найдите периметр трапеции.

4. В равносторонний треугольник вписана окружность. Этой окружности и сторон треугольника касаются три малые окружности. Найдите сторону треугольника, если радиус малой окружности равен 1.

Билет № 19

1. Критерий вписанного в окружность четырёхугольника.

2. Площадь треугольника.

3. В параллелограмме ABCD длина диагонали BD, перпендикулярной стороне АВ, равна 6. Длина диагонали АС равна 2?22. Найдите длину стороны AD.

4. Периметр прямоугольного треугольника равен 24 см, а его площадь равна 24 см2. Найдите площадь описанного круга.

Билет № 20

1. Свойство средней линии треугольника.

2. Формулы радиусов вписанной и описанной окружностей для правильного n-угольника. Площадь правильного многоугольника.

3. В прямоугольном треугольнике точка касания вписанной окружности делит гипотенузу на отрезки длиной 5 и 12 см. Найдите катеты треугольника.

4. Около окружности описана равнобокая трапеция, у которой боковая сторона точкой касания делится на отрезки 4 и 9 см. Найдите площадь трапеции.

§ 4. Экзаменационный комплект № 4 (элективный уровень)

Билет № 1

1. Аксиомы и теоремы. Определения. Аксиомы планиметрии.

2. Критерий вписанной в четырехугольник окружности.

3. Формула угла между прямыми a1x + BLy + c1 = 0 и а2х + b2у + с2 = 0.

4. В остроугольном треугольнике ABC из вершине и С на стороны ВС и АВ опущены высоты АР и CQ. Известно, что площадь треугольника ABC равна 18, площадь треугольника BPQ равна 2, а длина отрезка PQ равна 2?2. Вычислите радиус окружности, описанной около треугольника ABC.

5. Основание АВ трапеции ABCD вдвое длиннее основания CD и вдвое длиннее боковой стороны AD. Длина диагонали АС равна а, а длина боковой стороны ВС равна b. Найти площадь трапеции.

Билет № 2

1. Признаки и свойства фигур. Характеристическое свойство геометрической фигуры. Примеры.

2. Критерий описанной около четырёхугольника окружности.

3. Координатные формулы деления отрезка в данном отношении.

4. В треугольнике, один из углов которого равен разности двух других, длина меньшей стороны равна 1, а сумма площадей квадратов, построенных на двух других сторонах, в два раза больше площади описанного около треугольника круга. Найти длину большей стороны треугольника.

5. В выпуклом четырёхугольнике ABCD диагонали АС и BD пересекаются в точке F. Известно, что AF = CF = 2, BF = 1, DF = 4, ?BFC = ?/3. Найти косинус угла между векторами АВ и DC.

Билет № 3

1. Прямая, обратная, противоположная и обратная к противоположной теоремы. Закон контрапозиции. Метод доказательства от противного.

2. Формула Герона площади треугольника.

3. Смешанное произведение векторов, его геометрический смысл.

4. В треугольнике ABC величина угла ВАС равна ?/3, длина высоты, опущенной из вершины С на сторону АВ, равна – ?3 см, а радиус окружности, описанной около треугольника ABC, равен 5 см. Найти длины сторон треугольника ABC.

5. Диагональ BD четырёхугольника ABCD является диаметром окружности, описанной около этого четырёхугольника. Вычислить длину диагонали АС, если BD = 2, АВ = 1, ?ABD: ?ВВС = 4:3.

Билет № 4

1. Геометрическое место точек. Основные геометрические места точек на плоскости. Метод геометрических мест.

2. Признаки подобия треугольников.

3. Формула расстояния между параллельными прямыми ах + by + с1 = 0 и ах + by + с2 = 0.

4. На катете АС прямоугольного треугольника ABC как на диаметре построена окружность, которая пересекает гипотенузу АВ в точке К. Найти площадь треугольника СКВ, если длина катета AС равна b и величина угла ABC равна ?.

5. В выпуклом четырёхугольнике длины диагоналей равны одному и двум метрам. Найти площадь четырёхугольника, зная, что длины отрезков, соединяющих середины его противоположных сторон, равны.

Билет № 5

1. Вектор. Координаты вектора. Равенство векторов. Сложение и вычитание векторов. Умножение вектора на число.

2. Признаки параллельности прямых.

3. Зависимость между высотами треугольника и радиусом вписанной в него окружности.

4. Длины боковых сторон трапеции равны 3 и 5. Известно, что в трапецию можно вписать окружность. Средняя линия трапеции делит её на две части, отношение площадей которых равно 5/11. Найти длины оснований трапеции.

5. В треугольнике ABC длина высоты BD равна 6 см, длина медианы СЕ равна 5 см, расстояние от точки пересечения отрезков BD и СЕ до стороны АС равно 1 см. Найти длину стороны АВ.

Билет № 6

1. Движения на плоскости, их виды. Композиция движений.

2. Свойство биссектрисы треугольника.

3. Взаимное расположение прямой ах + by + с = 0 и вектора n = (а; b).

4. Выпуклый четырёхугольник ABCD описан вокруг окружности с центром в точке О, при этом АО = ОС = 1, ВО = OD = 2. Найти периметр четырёхугольника ABCD.

5. В треугольнике ABC на стороне АВ взята точка К так, что АК: ВК = 2:1, а на стороне ВС взята точка L так, что CL: BL = 2:1. Пусть Q – точка пересечения прямых AL и СК. Найти площадь треугольника ABC, если дано, что площадь треугольника BQC равна 1.

Билет № 7

1. Преобразования плоскости. Преобразование подобия. Гомотетия.

2. Докажите, что точка пересечения боковых сторон трапеции, точка пересечения диагоналей и середины оснований трапеции лежат на одной прямой.

3. Свойство точки пересечения медиан.

4. В выпуклом четырёхугольнике MNLQ углы при вершинах N и L – прямые, а величина угла при вершине М равна arctg2/3. Найти длину диагонали NQ, если известно, что длина стороны LQ вдвое меньше длины стороны MN и на 2 м больше длины стороны LN.

5. В треугольнике ABC высота BD равна 11,2, а высота АЕ равна 12. Точка Е лежит на стороне ВС и BE: ЕС – 5:9. Найти длину стороны АС.

Билет № 8

1. Равенство фигур. Признаки равенства треугольников.

2. Уравнение прямой. Геометрический смысл числа k в уравнении у = kx + b.

3. Число ? и методы его вычисления. Длина окружности.

4. В окружность вписан четырёхугольник ABCD, диагонали которого взаимно перпендикулярны и пересекаются в точке Е. Прямая, проходящая через точку Е и перпендикулярная к АВ, пересекает сторону CD в точке М. Доказать, что ЕМ – медиана треугольника CED, и найти её длину, если AD = 8 см, АВ = 4 см и ?CDB = ?.

5. В треугольнике ABC угол ВАС прямой, длины сторон АВ и ВС равны соответственно 1 и 2. Биссектриса угла ABC пересекает сторону АС в точке L, G – точка пересечения медиан треугольника ABC. Что больше, длина BL или длина BG?

Билет № 9

1. Свойства параллельных прямых. Сумма углов треугольника и выпуклого n-угольника.

2. Формулы приведения.

3. Теорема Менелая и обратная к ней.

4. Центр О окружности радиуса 3 лежит на гипотенузе АС прямоугольного треугольника ABC. Катеты треугольника касаются окружности. Найти площадь треугольника ABC, если известно, что длина отрезка ОС равна 5.

5. Продолжения сторон AD и ВС четырёхугольника ABCD пересекаются в точке Р. Точки M и N – середины сторон АВ и CD. Доказать, что если прямая MN проходит через точку Р, то ABCD – трапеция.

Билет № 10

1. Геометрическое место центров вписанной в треугольник и описанной около треугольника окружностей.

2. Теорема Чевы и обратная к ней.

3. Многоугольники. Правильные многоугольники. Формулы R и r для правильного n-угольника со стороной а.

4. На плоскости лежит равнобедренный прямоугольный треугольник, у которого катеты имеют длину а. Поворотом в этой плоскости данного треугольника вокруг вершины его прямого угла на угол 45° получается другой равнобедренный прямоугольный треугольник. Найти площадь четырёхугольника, являющегося общей частью этих двух треугольников.

5. В параллелограмме ABCD сторона АВ равна 6 см, а высота, проведенная к основанию AD, равна 3 см. Биссектриса угла BAD пересекает сторону ВС в точке М так, что МС = 4 см. N – точка пересечения биссектрисы AM и диагонали BD. Вычислить площадь треугольника BNM.

Билет № 11

1. Векторное произведение векторов, его геометрический смысл.

2. Использование теорем синусов и косинусов для решения треугольников.

3. Свойства ромба, прямоугольника, квадрата.

4. На плоскости даны две окружности радиусов 12 см и 7 см с центрами в точках О1 и O2, касающиеся некоторой прямой в точках М1 и М2 и лежащие по одну сторону от этой прямой. Отношение длины отрезка M1M2 к длине отрезка О1O2 равно

Геометрия: Планиметрия в тезисах и решениях. 9 класс

Вычислить длину отрезка М1М2.

5. Дан равнобедренный треугольник ABC, в котором проведены высота CD и перпендикуляр DE к боковой стороне ВС. Точка М – середина отрезка DE. Доказать, что отрезки АЕ и СМ перпендикулярны.

Билет № 12

1. Признаки и свойства параллелограмма.

2. Формула Эйлера о расстоянии между центрами вписанной в треугольник и описанной около треугольника окружностей.

3. Геометрическое введение синуса, косинуса, тангенса, котангенса. Основные тригонометрические тождества.

4. В треугольниках ABC и А1В1С1 длина стороны АВ равна длине стороны А1В1, длина стороны АС равна длине стороны А1С1, величина угла ВАС равна 60° и величина угла В1А1С1 равна 120°. Известно, что отношение длины В1С1 к длине ВС равно ?n (где n – целое число). Найти отношение длины АВ к длине АС. При каких значениях n задача имеет хотя бы одно решение?

5. В трапецию ABCD с основаниями AD и ВС и с боковыми сторонами АВ и CD вписана окружность с центром О. Найти площадь трапеции, если угол DAB прямой, ОС = 2 и OD = 4.

Билет № 13

1. Аксиоматический подход в геометрии. Требования к системе аксиом. Аксиоматическая теория.

2. Теорема синусов. Формула 2R = a/sin ?.

3. Вписанные в окружность углы. Соотношение между вписанным и центральным углами, опирающимися на одну дугу.

4. В трапеции ABCD отрезки АВ и DC являются основаниями. Диагонали трапеции пересекаются в точке Е. Найти площадь треугольника ВСЕ, если АВ = 30 см, DC = 24 см, AD = 3 см и ?DAB = ?/3.

5. В прямоугольный треугольник, периметр которого равен 36 см, вписана окружность. Гипотенуза делится точкой касания в отношении 2:3. Найти длины сторон треугольника.

Билет № 14

1. Теорема Фалеса. Теорема о пропорциональных отрезках.

2. Длина медианы треугольника.

3. Скалярное произведение векторов. Угол между векторами. Угол между прямыми.

4. Хорды АВ и АС имеют одинаковую длину. Величина образованного ими вписанного в окружность угла равна ?/6. Найти отношение площади той части круга, которая заключена в этом угле, к площади всего круга.

5. Внутри равностороннего треугольника ABC дана точка М, такая, что AM = 1, ВМ = ?3 и СМ = 2. Найти АВ, ?АМВ и ?ВМС.

Билет № 15

1. Теорема Пифагора. Египетский треугольник.

2. Длина биссектрисы треугольника.

3. Понятие площади фигуры. Площадь прямоугольника, параллелограмма, треугольника, трапеции.

4. Доказать, что для треугольника ABC и любой точки Р выполняется неравенство: РА2+ РВ2+ PC2? 1/3(АВ2+ ВС2+ СА2).

5. В плоскости дан квадрат с последовательно расположенными вершинами А, В, С, D и точка О. Известно, что OB = OD = 13, ОС = 5?2 и что площадь квадрата больше 225. Найти длину стороны квадрата и выяснить, где расположена точка О – вне или внутри квадрата.

Билет № 16

1. Формула расстояния от точки А(х0, у0) до прямой ах + by + с = 0.

2. Значения sin, cos, tg, ctg от углов 30°, 45° и 60°.

3. Докажите, что если треугольники подобны, то с тем же коэффициентом пропорциональны произвольные соответствующие линейные элементы этих треугольников.

4. В треугольнике ABC длина стороны АС равна 3, ?ВАС = ?/6 и радиус описанной окружности равен 2. Доказать, что площадь треугольника ABC меньше 3.

5. Площадь прямоугольника ABCD равна 48, а длина диагонали равна 10. На плоскости, в которой расположен прямоугольник, выбрана точка О так, что OB = OD = 13. Найти расстояние от точки О до наиболее удалённой от нее вершины прямоугольника.

Билет № 17

1. Координаты на плоскости. Расстояние между точками.

2. Теорема косинусов. Связь теоремы косинусов и теоремы Пифагора.

3. Площадь четырёхугольника, правильного n-угольника.

4. В треугольнике ABC медианы, проведенные к сторонам АС и ВС, пересекаются под прямым углом. Длина стороны АС равна b, длина стороны ВС равна а. Найти длину стороны АВ.

5. Найдите геометрическое место точек, равноудалённых от данной прямой и данной точки.

Билет № 18

1. Уравнение фигуры. Уравнение окружности.

2. Базис на плоскости. Теорема о разложении вектора по базису.

3. Формула S = рr для треугольника.

4. Из всех прямоугольников, вписанных в полукруг, найти прямоугольник наибольшей площади.

5. На сторонах АВ и АС треугольника ABC взяты точки М и Т, такие, что AM/MB = CN/NA = 1/2. Отрезки BN и СМ пересекаются в точке К. Найти отношения отрезков BK/KN и CK/KM.

Билет № 19

1. Касательная к окружности, её свойство. Виды касания окружностей.

2. Координатные формулы движений.

3. Формула S = abc/4R для треугольника.

4. В треугольнике ABC угол А прямой, величина угла В равна 30°. В треугольник вписана окружность, радиус которой равен ?3. Найти расстояние от вершины С до точки касания этой окружности с катетом АВ.

5. Основания трапеции равны 4 см и 9 см, а диагонали равны 5 см и 12 см. Найти площадь трапеции и угол между её диагоналями.

Билет № 20

1. Пропорциональность отрезков хорд и секущих окружности.

2. Первая теорема косинусов для четырёхугольника.

3. Свойство средней линии треугольника и трапеции.

4. Стороны треугольника образуют арифметическую прогрессию. Доказать, что радиус окружности, вписанной в треугольник, равен 1/3 высоты, проведённой к средней по величине стороне треугольника.

5. Средняя линия трапеции равна 4, отрезок, соединяющий середины оснований, равен 1, углы при основании трапеции равны 40° и 50°. Найдите длины оснований трапеции.

Глава 4

Решения и ответы к задачам

§ 1. Решения и ответы к задачам § 1 главы 2

Задача 10 (рис. 220)

Геометрия: Планиметрия в тезисах и решениях. 9 класс

Рис. 220.


Решение. Пусть ВС = х, тогда AD = х – 4. Площадь треугольника ABC равна 1/2 ? ВС ? AD = 1/2 ? х ? (х – 4). По условию площадь равна 16. Значит, 1/2 ? х ? (х – 4) = 16, откуда х = 8. BС = 8, AD = BС – 4 = 4. По теореме Пифагора

Геометрия: Планиметрия в тезисах и решениях. 9 класс

Периметр треугольника равен PABC = AC + BC + AB = 5 + 8 + ?41 = 13 + ?41.

Ответ: 13 + ?41 см.

Задача 11

Решение. Запишем площадь треугольника тремя способами:

Геометрия: Планиметрия в тезисах и решениях. 9 класс

c другой стороны,

Геометрия: Планиметрия в тезисах и решениях. 9 класс
Геометрия: Планиметрия в тезисах и решениях. 9 класс

Аналогично

Геометрия: Планиметрия в тезисах и решениях. 9 класс

Задача 12 (рис. 221)

Геометрия: Планиметрия в тезисах и решениях. 9 класс

Рис. 221.


Решение. Пусть в треугольнике ABC АС = ?2. Проведем отрезок DE так, что площадь треугольника DBE равна площади трапеции ADEC. Так как нам нужно найти длину отрезка DE, обозначим ее через х. Введем еще обозначения: высоту треугольника DBE обозначим через h1 высоту трапеции ADEC через h2 Составим систему уравнений:

Геометрия: Планиметрия в тезисах и решениях. 9 класс

Первое уравнение фиксирует равенство площадей треугольника DBE и трапеции ADEC. Второе уравнение констатирует тот факт, что площадь треугольника ABC в 2 раза больше площади треугольника DBE, при этом использовано условие АС = ?2. Решая систему, получаем:

Геометрия: Планиметрия в тезисах и решениях. 9 класс

Ответ: 1.

Задача 13 (рис. 222)

Геометрия: Планиметрия в тезисах и решениях. 9 класс

Рис. 222.


Решение. Пусть в треугольнике ABC ВС = а, ?АВС = ?, ?АСВ = ?, длину АС обозначим через х. По теореме синусов:

Геометрия: Планиметрия в тезисах и решениях. 9 класс

Площадь треугольника равна половине произведения двух сторон треугольника на синус угла между ними.

Геометрия: Планиметрия в тезисах и решениях. 9 класс

Ответ:

Геометрия: Планиметрия в тезисах и решениях. 9 класс

Задача 14 (рис. 223)

Геометрия: Планиметрия в тезисах и решениях. 9 класс

Рис. 223.


Решение. Пусть ABC – данный в условии задачи треугольник. Так как медиана треугольника ABC – отрезок СЕ – всегда лежит внутри треугольника, то, чтобы точка пересечения отрезков СЕ и BD также лежала внутри треугольника ABC, необходимо, чтобы угол С был меньшим 90°. Обозначим через Р точку пересечения прямых BD и СЕ. Так как PD перпендикулярна АС, то расстояние от точки Р до стороны АС равно длине отрезка PD, т. е. равно 1 см. Проведём через точку Е прямую, параллельную основанию АС треугольника ABC. Пусть эта прямая пересекает высоту BD в точке К, а сторону ВС в точке F. Так как СЕ – медиана и прямая EF параллельна АС, то EF – средняя линяя треугольника ABC. Поэтому, в частности, прямая EF делит пополам высоту BD, т. е. KD = 1/2BD = 3 см. Теперь находим, что КР = KD – PD = 2 см. Треугольники ЕРК и DPC подобны, так как у них ?ЕРК = ?DPC, как величины вертикальных углов, ?РКЕ = ?PDC = 90°. Из подобия этих треугольников следует, что KP/PD = EP/PC. Так как PC = ЕС – ЕР, то это равенство можно записать в виде 2/1 = EP/(5 – EP), откуда получаем, что ЕР = 10/3 см. Из прямоугольного треугольника ЕКР находим, что

Геометрия: Планиметрия в тезисах и решениях. 9 класс

Так как ЕК средняя линия треугольника ABD, то AD = 2 ? ЕК 16/3 см. Из прямоугольного треугольника ADB находим

Геометрия: Планиметрия в тезисах и решениях. 9 класс

Ответ:

Геометрия: Планиметрия в тезисах и решениях. 9 класс

Задача 15 (рис. 224)

Геометрия: Планиметрия в тезисах и решениях. 9 класс

Рис. 224.


Решение. Обозначим длину отрезка АС через х. Из прямоугольного треугольника АЕС по теореме Пифагора находим

Геометрия: Планиметрия в тезисах и решениях. 9 класс

Поусловию BE: EС = 5:9, значит,

Геометрия: Планиметрия в тезисах и решениях. 9 класс

Площадь треугольника ABC равна 1/2 BD ? АС и одновременно 1/2 АЕ ? ВС, так что BD ? АС = АЕ ? ВС или

Геометрия: Планиметрия в тезисах и решениях. 9 класс

Последнее уравнение можно переписать в виде

Геометрия: Планиметрия в тезисах и решениях. 9 класс

Возведя последнее уравнение в квадрат, получим, что х2= 225, откуда х = 15, либо х = -15. Так как х – длина стороны, то х = 15. Следовательно, длина стороны АС равна 15.

Ответ: 15.

Задача 16 (рис. 225)

Геометрия: Планиметрия в тезисах и решениях. 9 класс

Рис. 225.


Решение. По теореме синусов ВС = 2Rsin ?ВАС = 2 ? 2 ? 1/2 = 2, где R – радиус описанной окружности. Так как АВ – хорда, то её длина не больше диаметра, т. е. АВ ? 2R = 4. Покажем, что АВ < 4. Если АВ = 4, то ?АСВ = ?/2 и должно выполняться равенство АВ2= АС2+ ВС2. Но оно не выполняется, так как 42? З2+ 22. Значит, АВ < 4. Тогда

Геометрия: Планиметрия в тезисах и решениях. 9 класс

Требуемое утверждение доказано.

Задача 17 (рис. 226)

Геометрия: Планиметрия в тезисах и решениях. 9 класс

Рис. 226.


Решение. Пусть ВК и AD – медианы, проведенные соответственно к сторонам АС и ВС. Обозначим через Е точку их пересечения. Так как точка К – середина стороны АС и точка D – середина стороны ВС, то отрезок KD – средняя линия треугольника ABC. Следовательно, АВ = 2 ? KD. Так как по условию задачи ВК и AD перпендикулярны, то треугольники АЕК, KED, BED, АЕВ прямоугольные. Применяя теорему Пифагора к этим треугольникам, имеем:

Геометрия: Планиметрия в тезисах и решениях. 9 класс

Ответ:

Геометрия: Планиметрия в тезисах и решениях. 9 класс

Задача 22 (рис. 227)

Геометрия: Планиметрия в тезисах и решениях. 9 класс

Рис. 227.


Решение. Пусть в треугольнике ABC АВ = ВС = 12, ?ABC = 120°. Так как в треугольнике сумма углов равна 180°, то ?А + ?С = 180° – 120° = 60°. Учитывая, что в равнобедренном треугольнике углы при основании равны, получаем: ?А = 30°. Рассмотрим треугольник ВНА, где ВН – высота треугольника. ВН – катет в этом треугольнике, лежащий напротив угла в 30°.

Тогда ВН = 1/2 ? АВ = 6.

Ответ: 6.

Задача 23 (рис. 228)

Геометрия: Планиметрия в тезисах и решениях. 9 класс

Рис. 228.


Решение. Поскольку высота в равнобедренном треугольнике, проведённая к основанию, является и медианой треугольника, то AD = DC = 2. Тогда по теореме Пифагора имеем:

Геометрия: Планиметрия в тезисах и решениях. 9 класс

Естественно, что и ВС = 2?5. Воспользуемся формулой радиуса описанной около треугольника окружности R = abc/4S. Длины сторон треугольника равны 4, 2?5, 2?5, а площадь треугольника S = 1/2 ? AC ? BD = 1/2 ? 4 ? 4 = 8;

Геометрия: Планиметрия в тезисах и решениях. 9 класс

Тогда площадь круга Sкруга = ?R2= 25?/4.

Ответ: 25?/4.

Задача 24 (рис. 229)

Геометрия: Планиметрия в тезисах и решениях. 9 класс

Рис. 229.


Решение. Так как BD – высота в равнобедренном треугольнике ABC, то она является и медианой, т. е. AD = DC. Так как AC/BC = 6/5, то можно обозначить DC = Зх; ВС = 5х (см. рис.). Из ?BCD по теореме Пифагора DB2+ DC2= ВС2. Или 82+ (Зх)2= (5х)2; х = 2. Радиус вписанной окружности r = S/P; площадь треугольника S = 1/2 АС ? BD = 1/2 ? 6х ? 8 = 48; полупериметр р = (5x + 5x + 6x)/2 = 16; r = 48/16 =3.

Ответ: 3.

Задача 25

Решение. Sзаштрихованного сектора = 1/3(Sкруга – Sтреугольника). Длина окружности l = 2?R. По условию l = 4?; 2?R = 4?; R = 2. Sкpyгa = ?R2= 4?. Длину стороны треугольника найдём по теореме синусов:

Геометрия: Планиметрия в тезисах и решениях. 9 класс

Ответ:

Геометрия: Планиметрия в тезисах и решениях. 9 класс

Задача 26 (рис. 230)

Геометрия: Планиметрия в тезисах и решениях. 9 класс

Рис. 230.


Решение. Пусть К – произвольная точка внутри равностороннего треугольника ABC со стороной а. Опустим перпендикуляры KM, KN, КР на стороны треугольника. Обозначим эти перпендикуляры следующим образом: КМ = х, KN = у, КР = z. Тогда SABC = SABK + SBKC + SAKC. Получаем равенство:

Геометрия: Планиметрия в тезисах и решениях. 9 класс

Отсюда (a?3)/2 = x + y + z. Но высота h треугольника равна h = a ? sin 60° = (a?3)/2; значит, х + у + z = h.

Задача 31 (рис. 231)

Геометрия: Планиметрия в тезисах и решениях. 9 класс

Рис. 231.


Решение. Так как AD – высота в равнобедренном треугольнике ABC, то она является и медианой. Значит, BD = DC = 6. Тогда AD = BD = 6, так как ?ABD = ?BAD = 45°.

Можно было увидеть и другую закономерность. Так как D – середина гипотенузы, то D – центр описанной около треугольника ABC окружности. Значит. DA = DB = DC = 6.

Ответ: 6 см.

Задача 32 (рис. 232)

Геометрия: Планиметрия в тезисах и решениях. 9 класс

Рис. 232.


Решение. Обозначим угол ВАС через ?. Тогда AC = BC ? ctg?. Последовательно находим:

Геометрия: Планиметрия в тезисах и решениях. 9 класс

Ответ: 96/5; 345, 6

Задача 33 (рис. 233)

Геометрия: Планиметрия в тезисах и решениях. 9 класс

Рис. 233.


Решение. Обозначим катеты прямоугольного треугольника ABC с гипотенузой ВС через а и b (см. рис). Тогда

Геометрия: Планиметрия в тезисах и решениях. 9 класс
Геометрия: Планиметрия в тезисах и решениях. 9 класс

По условию SBCD = 2SABC. Значит,

Геометрия: Планиметрия в тезисах и решениях. 9 класс

преобразуем это уравнение к виду

Геометрия: Планиметрия в тезисах и решениях. 9 класс

Дискриминант D этого уравнения будет равен

Геометрия: Планиметрия в тезисах и решениях. 9 класс
Геометрия: Планиметрия в тезисах и решениях. 9 класс

Но a/b = tg(?ВСА), значит, ?ВСА = 60° или 30°.

Ответ: 60°; 30°.

Задача 34 (рис. 234)

Геометрия: Планиметрия в тезисах и решениях. 9 класс

Рис. 234.


Решение. Пусть ABC – заданный треугольник, AD – высота, опущенная на гипотенузу. Тогда по условию BD = 9, DC = 16. Обозначим АВ через х, АС через у, высоту AD через h. По теореме Пифагора: BD2+ AD2= АВ2; DC2+ AD2= АС2; АВ2+ AC2= ВС2. Получаем систему уравнений:

Геометрия: Планиметрия в тезисах и решениях. 9 класс

Сложим все уравнения:

81 + 256 + 2h2+ х2+ у2= х2+ у2+ 625;

2h2= 228; h = 12; х2= 81 + 144 = 225; x = 15;

у2= 256 + 144 = 400; y = 20.

Далее воспользуемся формулой r = S/p.

Геометрия: Планиметрия в тезисах и решениях. 9 класс

r = 150/30 = 5.

Ответ: 5.

Задача 35 (рис. 235)

Геометрия: Планиметрия в тезисах и решениях. 9 класс

Рис. 235.


Решение. Пусть ABC – данный в условии задачи треугольник. По теореме Пифагора находим, что AC = ?3. Поскольку sin ?ABC = ?3/2, то, учитывая, что угол ?ABC – угол прямоугольного треугольника, находим, что ?ABC = ?/3. Следовательно, ?АСВ = ?/6. Так как BL – биссектриса угла ABC, то ?ABL = ?/6. Из прямоугольного треугольника ABL находим

Геометрия: Планиметрия в тезисах и решениях. 9 класс

Пусть М – середина отрезка АС. Тогда AM = 1/2 АС = ?3/2. Из прямоугольного треугольника ВАМ находим, что

Геометрия: Планиметрия в тезисах и решениях. 9 класс

Так как точка пересечения медиан делит каждую из них в отношении 2:1, то

Геометрия: Планиметрия в тезисах и решениях. 9 класс

Для ответа на вопрос, поставленный в задаче, надо сравнить числа

Геометрия: Планиметрия в тезисах и решениях. 9 класс

Поскольку

Геометрия: Планиметрия в тезисах и решениях. 9 класс

т. е. BL > BG.

Ответ: длина BL больше длины BG.

Задача 36 (рис. 236)

Геометрия: Планиметрия в тезисах и решениях. 9 класс

Рис. 236.


Решение. Пусть ABC – данный в условии задачи прямоугольный треугольник, А1ВС1 – прямоугольный треугольник, полученный поворотом треугольника ABC вокруг вершины его прямого угла В на угол 45°. Из условия задачи следует, что величины углов CBC1, CBA1, ABA1, ВСА, ВА1C1 равны 45°. Прямые АВ и А1C1 параллельны, т. к. при их пересечении прямой ВА1 равны накрест лежащие углы АВА1 и ВА1С1. Но тогда, поскольку треугольник ABC прямоугольный и, значит, АВ ? ВС, получаем, что прямая С1А1 перпендикулярна прямой ВС. Обозначим через N точку пересечения прямых С1А1 и СВ. Поскольку

Геометрия: Планиметрия в тезисах и решениях. 9 класс

то точка N лежит на отрезке ВС. Пусть L – точка пересечения прямых АС и ВА1. Аналогично показывается, что точка L лежит на отрезке АС. Пусть М – точка пересечения прямых АС и С1А1. Ясно, что точка М лежит на отрезке CL. Тогда SBLMN = SBLC – SCNM. Треугольник BLC равнобедренный и прямоугольный, т. к. в нем ?CBL = ?LCB = 45°. Следовательно,

Геометрия: Планиметрия в тезисах и решениях. 9 класс

Треугольник CNM также равнобедренный и прямоугольный, причем

Геометрия: Планиметрия в тезисах и решениях. 9 класс

Следовательно,

Геометрия: Планиметрия в тезисах и решениях. 9 класс

Итак,

Геометрия: Планиметрия в тезисах и решениях. 9 класс

Ответ:

Геометрия: Планиметрия в тезисах и решениях. 9 класс

Задача 43 (рис. 237)

Геометрия: Планиметрия в тезисах и решениях. 9 класс

Рис. 237.


Решение. Проведём высоты трапеции ВК и СМ. Очевидно, что КМ = 4; AK = MD = (12 – 4)/2 = 4. Так как треугольник АВК – равнобедренный (?АВК = ?ВАК = 45°). то ВК = АК = 4.

SABCD = (AD + BC)/2 ? BK = (12 + 4)/2 ? 4 = 32.

Ответ: 32 см2.

Задача 44 (рис. 238)

Геометрия: Планиметрия в тезисах и решениях. 9 класс

Рис. 238.


Решение. Проведём высоты трапеции ВК и СМ. Мы получили два прямоугольных треугольника АВК и CMD, в которых ?ВАК и ?CDM равны 30°; так как напротив угла в 30° лежит катет (ВК), равный половине гипотенузы (АВ), то АВ = 2h (ВК = h).

Геометрия: Планиметрия в тезисах и решениях. 9 класс

Ответ: (6 + 2?3)h.

Задача 45 (рис. 239)

Геометрия: Планиметрия в тезисах и решениях. 9 класс

Рис. 239.


Решение. Пусть АК = х, высоты ВК и СМ равны h, тогда, так как КМ = ВС = 4, MD = 21 – х.

Из ?АВК и ?MCD по теореме Пифагора получим:

Геометрия: Планиметрия в тезисах и решениях. 9 класс

Несложно подсчитать, что если оба угла при нижнем основании не острые, то задача решений не имеет.

Ответ: 12.

Задача 46 (рис. 240)

Геометрия: Планиметрия в тезисах и решениях. 9 класс

Рис. 240.


Решение. Проведем высоту трапеции СК (см. рис.). Тогда, KD = (a – b)/2; cos D = (a – b)/2c. Из ?ACD по теореме косинусов AC2= AD2+ CD2– 2AD ? CD ? cos D = a2+ с2– 2 ? а ? с ? (a – b)/2c = a2+ с2– a2+ аb = c2+ ab.

Геометрия: Планиметрия в тезисах и решениях. 9 класс

Ответ:

Геометрия: Планиметрия в тезисах и решениях. 9 класс

Задача 47 (рис. 241)

Геометрия: Планиметрия в тезисах и решениях. 9 класс

Рис. 241.


Решение. По содержанию задача идентична задаче 45. Однако, если мы начертим аналогичную трапецию и введем 25 соответствующие обозначения, то из чертежа получится система:

Геометрия: Планиметрия в тезисах и решениях. 9 класс

24х = 144 + 625–289 = 480; х = 20. Получается, что MD = 12–20 = -8. Это лишь означает, что трапеция выглядит как на рис. 242:

Геометрия: Планиметрия в тезисах и решениях. 9 класс
Геометрия: Планиметрия в тезисах и решениях. 9 класс

Рис. 242.


Ответ: 15 см.

Задача 48 (рис. 243)

Геометрия: Планиметрия в тезисах и решениях. 9 класс

Рис. 243.


Решение. Так как ABCD – равнобедренная трапеция, то АО = OD и ?OAD = ?ODA = 45°. Проведём высоту BK (см. рис.). Раз ?ODA = 45°, то ?KBD – равнобедренный и KD = BK = 10.

Геометрия: Планиметрия в тезисах и решениях. 9 класс

Ответ: 100.

Задача 49 (рис. 244)

Геометрия: Планиметрия в тезисах и решениях. 9 класс

Рис. 244.


Решение. Пусть ABCD – данная в условиях задачи трапеция. Обозначим через точку М точку касания окружности со стороной CD трапеции ABCD. Соединив точки С и D с центром окружности, получим треугольник COD. Так как точка О равноудалена от прямых ВС и CD, то СО – биссектриса угла BCD и ?OCD = 1/2 ?BCD. Аналогично, ?ODC = 1/2 ?ADC. Поскольку BC||AD, то ?BCD + ?ADC = ?, следовательно, ?OCD + ?ODC = ?/2. Тогда ?COD = ?/2, т. е. треугольник COD – прямоугольный. По теореме Пифагора

Геометрия: Планиметрия в тезисах и решениях. 9 класс

Так как M – точка касания окружности и стороны CD, то CD ? ОМ. Из подобия прямоугольных треугольников OCD и OMD (они имеют общий острый угол) находим, что CD/OD = OC/OM.

Отсюда

Геометрия: Планиметрия в тезисах и решениях. 9 класс

Проведём через точку О прямую, перпендикулярную ВС. Тогда она будет перпендикулярна и прямой AD. Поскольку такой перпендикуляр к прямым ВС и AD единственен, то точки пересечения его L, K c прямыми AD и ВС соответственно будут точками касания сторон трапеции с окружностью. Значит, длина высоты трапеции равна KL = 2 ? ОМ = 8/?5 и АВ = 8/?5. Поскольку в четырехугольник ABCD вписана окружность, то BC + AD = AB + CD = 18/?5. Откуда SABCD = 1/2(BC + AD) ? AB = 72/5.

Ответ: 72/5.

Задача 53 (рис. 245)

Геометрия: Планиметрия в тезисах и решениях. 9 класс

Рис. 245.


Решение. Исходя из условия задачи, получим систему:

Геометрия: Планиметрия в тезисах и решениях. 9 класс

Учитывая, что AO = СО, получим:

Геометрия: Планиметрия в тезисах и решениях. 9 класс

Ответ: 12 см; 4 см; 12 см; 4 см.

Задача 54 (рис. 246)

Геометрия: Планиметрия в тезисах и решениях. 9 класс

Рис. 246.


Решение. Так как по условию BD = 6, АС = 2?22, то, учитывая, что диагонали параллелограмма точкой пересечения делятся пополам, получим: АО = ?22, ВО = 3. Из прямоугольного треугольника АВО по теореме Пифагора

Геометрия: Планиметрия в тезисах и решениях. 9 класс

Из прямоугольного треугольника ABD

Геометрия: Планиметрия в тезисах и решениях. 9 класс

Ответ: 7.

Задача 55 (рис. 247)

Геометрия: Планиметрия в тезисах и решениях. 9 класс

Рис. 247.


Решение. С целью упрощения арифметических вычислений уменьшим все линейные размеры в 9 раз. Тогда АВ = 17; ВС = 20; BE = 15. Линии f и g делят площадь трапеции на три равные по площади части (см. рис.). Проведем высоту BE. Последовательно находим: SABCD = AD ? BE = 20 ? 15 = 300 (в «новом формате»).

Геометрия: Планиметрия в тезисах и решениях. 9 класс

Осталось увеличить полученные результаты в 9 раз: AM = 96; AN = 156.

Ответ: 96; 156.

Задача 58 (рис. 248)

Геометрия: Планиметрия в тезисах и решениях. 9 класс

Рис. 248.


Решение. Пусть в ромбе ABCD BD = АВ = AD. Тогда ?ABD – равносторонний и АВ = ВС = 10, ?BAD = 60°, ?АВС = 120°. По теореме косинусов из треугольника ABC

Геометрия: Планиметрия в тезисах и решениях. 9 класс

Ответ: 10?3 см; 120°; 60°.

Задача 59 (рис. 249)

Геометрия: Планиметрия в тезисах и решениях. 9 класс

Рис. 249.


Решение. Начертим ромб ABCD. По условию

Геометрия: Планиметрия в тезисах и решениях. 9 класс

Так как диагонали ромба перпендикулярны друг другу, то ?AOD – прямоугольный. Тогда по теореме Пифагора АО2+ OD2= AD2. Обозначим АО через 4х, тогда OD = Зх.

(4х)2+ (Зх)2= 202; 25х2= 400; х2= 16; х = 4. АО = 16; OD = 12. Осталось найти высоту ОН в ?AOD, которая и является радиусом вписанного круга. Из рисунка

Геометрия: Планиметрия в тезисах и решениях. 9 класс

Ответ: 92,16? см2.

Задача 60 (рис. 250)

Геометрия: Планиметрия в тезисах и решениях. 9 класс

Рис. 250.


Решение. Во-первых, раз

Геометрия: Планиметрия в тезисах и решениях. 9 класс

Во-вторых, высота ромба равна диаметру вписанного круга, значит,

Геометрия: Планиметрия в тезисах и решениях. 9 класс

Так как

Геометрия: Планиметрия в тезисах и решениях. 9 класс

Ответ: 8Q/?.

Задача 64 (рис. 251)

Геометрия: Планиметрия в тезисах и решениях. 9 класс

Рис. 251.


Решение. Так как ?BAC/?CAD = 1/2, а ?ВАС + ?CAD = 90°, то ?ВАС = 60°, ?CAD = 30°. Из ?ACD CD = AD ? tg 30° = AD/?3. Тогда CD: AD = 1:?3.

Ответ: 1:?3.

Задача 65 (рис. 252)

Геометрия: Планиметрия в тезисах и решениях. 9 класс

Рис. 252.


Решение. Пусть AD = а, АВ = b. По условию SABCD = а ? b = 9?3.

Так как ?AOD = 120°, то ?BOA = 60°. Значит, ?АОВ – равносторонний и OB = b; BD = 2b. Из ?ABD а2+ b2= (2b)2; а = ?3b. ?3b ? b = 9?3; b = 3; а = 3?3.

Ответ: 3 см; 3?3 см.

Задача 66 (рис. 253)

Геометрия: Планиметрия в тезисах и решениях. 9 класс

Рис. 253.


Решение. Для определённости будем считать, что АВ < AD. Так как AB ? AD = 48 и АВ2+ AD2= BD2= 100, то AD = 8, АВ = 6. Поскольку OB = OD = 13 > BD, то точка О лежит вне круга с диаметром BD и потому вне прямоугольника. Пусть она находится по ту же сторону от диагонали BD, что и точка А. Тогда требуется найти ОС. Обозначим ?OBD через ? и ?DВС через ?. Чтобы найти угол ?, опустим из точки О на диагональ BD перпендикуляр ОК. Получим ВК = KD = 1/2BD. Из прямоугольного ?ОВК следует:

Геометрия: Планиметрия в тезисах и решениях. 9 класс

Тогда sin ? = 12/13. Из прямоугольного ?DBС находим:

Геометрия: Планиметрия в тезисах и решениях. 9 класс

Применяя к треугольнику OBС теорему косинусов, получаем

Геометрия: Планиметрия в тезисах и решениях. 9 класс

Ответ:

Геометрия: Планиметрия в тезисах и решениях. 9 класс

Задача 70 (рис. 254)

Геометрия: Планиметрия в тезисах и решениях. 9 класс

Рис. 254.


Решение. Как видно из рисунка, диаметр окружности d совпадает с диагональю квадрата АВ. По теореме Пифагора

Геометрия: Планиметрия в тезисах и решениях. 9 класс

Ответ: 7?2 см.

Задача 71 (рис. 255)

Геометрия: Планиметрия в тезисах и решениях. 9 класс

Рис. 255.


Решение. Пусть сторона малого квадрата а, тогда диаметр d = 2Rкруга круга равен диагонали малого квадрата, т. е.

Геометрия: Планиметрия в тезисах и решениях. 9 класс

Но Rкруга – это половина стороны большого квадрата. Сторона большего квадрата

Геометрия: Планиметрия в тезисах и решениях. 9 класс
Геометрия: Планиметрия в тезисах и решениях. 9 класс

Ответ: 2:1.

Задача 72 (рис. 256)

Геометрия: Планиметрия в тезисах и решениях. 9 класс

Рис. 256.


Решение. MNKLPTQS – правильный восьмиугольник (см. рис.). Пусть РТ = х, тогда

Геометрия: Планиметрия в тезисах и решениях. 9 класс

из равнобедренного треугольника LCP

Геометрия: Планиметрия в тезисах и решениях. 9 класс

Из равенства LP = РТ получаем:

Геометрия: Планиметрия в тезисах и решениях. 9 класс
Геометрия: Планиметрия в тезисах и решениях. 9 класс

Ответ:

Геометрия: Планиметрия в тезисах и решениях. 9 класс

Задача 73 (рис. 257)

Геометрия: Планиметрия в тезисах и решениях. 9 класс

Рис. 257.


Решение. Очевидно, что MNKL – квадрат. Его диагональ NL = NE + FL + EF = 2NE + EF = 2NE + 1 (см. рис.). Так как NE – высота в равностороннем треугольнике BNC, то

Геометрия: Планиметрия в тезисах и решениях. 9 класс

Сторона квадрата

Геометрия: Планиметрия в тезисах и решениях. 9 класс

Ответ: 2 + ?3.

Задача 76 (рис. 258)

Геометрия: Планиметрия в тезисах и решениях. 9 класс

Рис. 258.


Решение. Можно, конечно, пуститься в достаточно длинные арифметические вычисления, но мы покажем самое простое и красивое решение. Раз площадь большого треугольника равна площади шестиугольника, то площадь этого треугольника в 6 раз больше площади треугольника ОАВ. А поскольку площадь правильного треугольника пропорциональна квадрату стороны, то его сторона в ?6 раз больше стороны АВ, т. е. сторона его будет равна 14?6.

Ответ: 14?6.

Задача 77 (рис. 259)

Геометрия: Планиметрия в тезисах и решениях. 9 класс

Рис. 259.


Решение. Пусть сторона равностороннего треугольника АВ = a;

Геометрия: Планиметрия в тезисах и решениях. 9 класс

Найдём радиус r вписанной окружности

Геометрия: Планиметрия в тезисах и решениях. 9 класс

Здесь р = 3a/2 – полупериметр правильного треугольника ABC.

Геометрия: Планиметрия в тезисах и решениях. 9 класс

Ответ: 2:1.

Задача 78 (рис. 260)

Геометрия: Планиметрия в тезисах и решениях. 9 класс

Рис. 260.


Решение. Пусть ABCD – данный четырёхугольник. Обозначим К, L, М, N – точки касания окружности соответственно со сторонами АВ, ВС, CD, AD четырёхугольника ABCD. Соединим эти точки с центром О. Треугольники АОК, AON, CLO, СМО – равны, как имеющие равные гипотенузы и катеты: у них АО = ОС по условию и КО = OL = ОМ = ON = r, где r – радиус окружности, вписанной в четырёхугольник ABCD. Аналогично доказывается, что равны треугольники КОВ, BOL, DON и DOM. Из равенства треугольников имеем, что ?КОВ = ?BOL = ?NOD = ?DOM, а также ?АОК = ?LOC = ?AON = ?СОМ. Значит, ?AON + ?NOD = ?АОК + ?КОВ = ?BOL + ?LOC = ?СОМ + ?MOD. Так как ?АОВ = ?АОК + ?КОВ, ?ВОС = ?BOL + ?LOC, ?COD = ?СОМ + ?MOD, ?AOD = ?AON + ?NOD, то ?АОВ = ?ВОС = ?COD = ?AOD, и поскольку в сумме они составляют 360°, то каждый из них равен 90°. По теореме Пифагора из треугольника АОВ находим, что

Геометрия: Планиметрия в тезисах и решениях. 9 класс

Следовательно, периметр четырёхугольника (ромба) ABCD равен 4?5.

Ответ: 4?5.

Задача 85 (рис. 261)

Геометрия: Планиметрия в тезисах и решениях. 9 класс

Рис. 261.


Решение. Составим пропорции: ?10? длина дуги А1В1 = 1.

360° ? длина окружности 2?R1. Отсюда

Геометрия: Планиметрия в тезисах и решениях. 9 класс
Геометрия: Планиметрия в тезисах и решениях. 9 класс

Ответ:

Геометрия: Планиметрия в тезисах и решениях. 9 класс

Задача 86 (рис. 262)

Геометрия: Планиметрия в тезисах и решениях. 9 класс

Рис. 262.


Решение. Так как ОА = 2r, то из прямоугольного треугольника ОBА имеем: ?ВАО = 30° (гипотенуза ОА в 2 раза больше катета OB) и ?ВАС = 60°.

Ответ: 60°

Задача 87 (рис. 263)

Геометрия: Планиметрия в тезисах и решениях. 9 класс

Рис. 263.


Решение. Так как BD = 6, АС = 12, то PD = 3; CP = 6 (см. рис.).

Геометрия: Планиметрия в тезисах и решениях. 9 класс

Из ?O1CD по теореме косинусов имеем:

Геометрия: Планиметрия в тезисах и решениях. 9 класс

Ответ: 15/2 см.

Задача 88 (рис. 264)

Геометрия: Планиметрия в тезисах и решениях. 9 класс

Рис. 264.


Решение. Пусть О – центр вписанной в треугольник окружности; ОМ, ОТ, ОР – радиусы, проведённые к точкам касания. Так как АС = 6, то МС = PC = 3, ВР = ВТ = 10 – 3 = 7. ?ТВР подобен ?ABC и TP/AC = BP/BC; TP/6 = 7/10; TP = 42/10 = 4,2.

Ответ: 4,2 см.

Задача 89 (рис. 265)

Геометрия: Планиметрия в тезисах и решениях. 9 класс

Рис. 265.


Решение. Пусть радиус большого круга равен R, радиус малого круга r (см. рис.) ОС = r; OB = R.

Геометрия: Планиметрия в тезисах и решениях. 9 класс

Ответ:

Геометрия: Планиметрия в тезисах и решениях. 9 класс

Задача 90 (рис. 266)

Геометрия: Планиметрия в тезисах и решениях. 9 класс

Рис. 266.


Решение. Т. к. ?ABC – равносторонний, то

Геометрия: Планиметрия в тезисах и решениях. 9 класс

Радиус окружности

Геометрия: Планиметрия в тезисах и решениях. 9 класс

Поэтому получаем

Геометрия: Планиметрия в тезисах и решениях. 9 класс

Ответ: 3.

Задача 91 (рис. 267)

Геометрия: Планиметрия в тезисах и решениях. 9 класс

Рис. 267.


Решение. Пусть точка О – центр окружности и r – её радиус. Соединим точки В и С с центром О и проведём диаметр АК. Так как вписанный угол ВАС опирается на дугу ВКС и его величина равна ?/6, то центральный угол ВОС, опирающийся на ту же дугу, имеет величину, равную ?/3. Так как хорды АВ и АС имеют одинаковые длины, то ?BOA = ?АОС. Поскольку ?BOA + ?АОС = 2? – ?/3, то отсюда получаем, что ?BOA = ?АОС = 5?/6. Теперь подсчитаем площадь SABKC той части круга, которая заключена в угле ВАС. Она равна сумме площадей сектора ОВКС и треугольников АОВ и АОС (заметим, что у этих треугольников ОА = ОВ = ОС = r):

Геометрия: Планиметрия в тезисах и решениях. 9 класс

Ответ:

Геометрия: Планиметрия в тезисах и решениях. 9 класс

§ 2. Решения и ответы к задачам § 2 главы 2

Задача 94 (рис. 268)

Геометрия: Планиметрия в тезисах и решениях. 9 класс

Рис. 268.


Решение. Решение задачи непосредственно видно из чертежа. Соединив центр окружности с вершинами треугольника и с точками касания, получим три пары равных треугольников. Периметр Р = 7 + 7 + 6 = 20.

Ответ: Р = 20 см.

Задача 95 (рис. 269, 270)

Геометрия: Планиметрия в тезисах и решениях. 9 класс

Рис. 269.

Геометрия: Планиметрия в тезисах и решениях. 9 класс

Рис. 270.


Решение. Опять соединим центр окружности с вершинами трапеции и с точками касания; получим четыре пары равных треугольников. Из рис. 269 легко видеть, что АВ = CD = 13; ВС = 8; AD = 18.

Теперь мы знаем все стороны трапеции. Осталось найти её высоту. Для этого исходный рисунок представим ниже в следующем виде. Проведём высоты ВК и СМ. Тогда КМ = ВС = 8, АК = MD = (18 – 8)/2 = 5 (рис. 270).

Из прямоугольного треугольника АВК по теореме Пифагора:

Геометрия: Планиметрия в тезисах и решениях. 9 класс

Ответ: 156 см2.

Задача 96 (рис. 271)

Геометрия: Планиметрия в тезисах и решениях. 9 класс

Рис. 271.


Решение. Обозначим через А вершину прямого угла данного треугольника, через АВ и АС – катеты треугольника, причем так, что АВ > АС, через О – центр вписанной окружности, через r – ее радиус. Пусть M, N и P– точки касания этой окружности соответственно со сторонами АС, АВ, ВС. Так как длины отрезков касательных, проведённых к окружности из одной точки, равны, то BN = ВР, СМ = СР, AN = AM. Так как АВ > АС, то из этих равенств следует, что ВР > СР и, значит, СР: ВР = 2:3. Пусть СР = 2х; тогда ВР = Зх и ВС = 5х.

Радиус, проведённый в точку касания, перпендикулярен касательной, поэтому ОМ ? AC, ON ? АВ. Так как угол А – прямой, то ANOM – прямоугольник, и AM = ON = r, AN = ОМ = r. Теперь находим, что АВ = r + Зх, АС = r + 2х. Периметр треугольника равен 36 см, поэтому:

5х + (r + 2х) + (r + 3х) = 36; (1)

С другой стороны, по теореме Пифагора:

(r + 2х)2+ (r + 3х)2= 25х2(2)

Из уравнения (1) следует, что r = 18 – 5х; подставив полученное выражение для r в уравнение (2), после упрощений получаем уравнение х2– 15х – 54 = 0, имеющее единственный положительный корень х = 3. Тогда r = 3 см и АВ = 12 см, АС = 9 см, ВС = 15 см.

Ответ: стороны треугольника равны 9 см, 12 см, 15 см.

Задача 99 (рис. 272)

Геометрия: Планиметрия в тезисах и решениях. 9 класс

Рис. 272.


Решение. Так как ?BCD = 60°, то ?D = 120°. ?CND = ?BCN = ?NCD = 30°. Значит, ?NCD – равнобедренный и ND = CD = а.

Геометрия: Планиметрия в тезисах и решениях. 9 класс

Ответ:

Геометрия: Планиметрия в тезисах и решениях. 9 класс

Задача 100 (рис. 273)

Геометрия: Планиметрия в тезисах и решениях. 9 класс

Рис. 273.


Решение. Так как ?А = 60°, то ?ABC = 120°. Из чертежа видно, что ? + 3? = 120°; ? = 30°, тогда ?BDA = 90°. AD = АВ ? sin 30° = AB/2. Пусть AD = a; тогда АВ = 2а. Из условия следует, что а + 2а + а + 2а = 90; 6а = 90; а = 15. Следовательно AD = BC = 15 см, AB = CD = 30 см.

Ответ: 15 см, 30 см, 15 см, 30 см.

Задача 101 (рис. 274)

Геометрия: Планиметрия в тезисах и решениях. 9 класс

Рис. 274.


Решение. ?AFB = ?FBC, как внутренние накрест лежащие углы при параллельных прямых. Но ?FBC = ?ABF по условию, значит, ?ABF – равнобедренный и AF = АВ = 12. Пусть AF = 4а, тогда по условию FD = За; 4а = 12; а = 3; AD = 7 ? а = 21. Искомый периметр PABCD = (12 + 21) ? 2 = 66.

Ответ: 66.

Задача 105 (рис. 275)

Геометрия: Планиметрия в тезисах и решениях. 9 класс

Рис. 275.


Решение. Проведём MP||СК, тогда по теореме о пропорциональных отрезках ВР: РК = ВМ: МС = 3; значит, КР = 1/4 КВ = 1/4 АК и КР: АК = ОМ: АО = 1:4 и АО = 4OМ = 4/5 AM. По условию АК = КВ = 1/2 АВ.

Геометрия: Планиметрия в тезисах и решениях. 9 класс

Ответ: 3/10.

Задача 106 (рис. 276)

Геометрия: Планиметрия в тезисах и решениях. 9 класс

Рис. 276.


Решение. Чтобы найти отношение СК/КМ, применим теорему Менелая к треугольнику АСМ и секущей BN. Получим: CK/KM ? MB/BA ? AN/NC = 1. Так как MB/BA = 2/3, AN/NC = 2, то CK/KM = 3/4.

Аналогично, применив теорему Менелая к треугольнику ABN и секущей СМ, находим BK/KN ? CN/AC ? AM/MB = BK/KN ? 1/3 ? 1/2 = 1, откуда BK/KN = 6.

Ответ: 6; 3/4.

Задача 109 (рис. 277)

Геометрия: Планиметрия в тезисах и решениях. 9 класс

Рис. 277.


Решение. Так как АМ = 2, то по свойству биссектрисы в треугольнике АВМ ВО/OM = АВ/AM = 6/2 = 3.

Ответ: 3.

Задача 110 (рис. 278)

Геометрия: Планиметрия в тезисах и решениях. 9 класс

Рис. 278.


Решение. Пусть ВМ – медиана, а ВН – высота в треугольнике. Обозначим ВН через h, МС через 2х. Так как ВН – одновременно биссектриса и высота в треугольнике АВМ, то данный треугольник – равнобедренный и АН = НМ = х, AB = BM = 10. Так как ВМ – биссектриса ?НВС, то BH/BC = HM/MC; h/BC = x/2x; BC = 2h.

Из ?НВМ и ?НВС по теореме Пифагора:

Геометрия: Планиметрия в тезисах и решениях. 9 класс

AC = 4x = 20; ВС = 2h = 10?3. Кстати, легко показать, что ?ABC = 90°.

Ответ: 10 см; 20 см; 10?3 см.

Задача 118 (рис. 279)

Геометрия: Планиметрия в тезисах и решениях. 9 класс

Рис. 279.


Решение. Пусть АС = а; АВ = ВС = b, BF = y, EF = x. ?ADE ~ ?EFC, поэтому FC/DE = FE/DA; (b – y)/y = x/(b – x); b2= by – bx + xy = xy. Отсюда x + у = b; PDBFE = 2(x + y) = 2b, т. е. периметр параллелограмма не зависит от х и y, а зависит только от длины боковой стороны треугольника, другими словами, для данного треугольника периметр вписанного в него параллелограмма есть величина постоянная.

Задача 119 (рис. 280)

Геометрия: Планиметрия в тезисах и решениях. 9 класс

Рис. 280.


Решение. Так как СЕ = 4, то BE = 11. Из ?ABC по теореме Пифагора:

Геометрия: Планиметрия в тезисах и решениях. 9 класс

Пусть CD = х. Из подобия ?DCE и ?АСВ CE/AC = CD/CB; 4/12 = x/15; x = 5.

Ответ: 5.

Задача 120 (рис. 281)

Геометрия: Планиметрия в тезисах и решениях. 9 класс

Рис. 281.


Решение. Пусть BD = х, DE = а. Из подобия ?BDE и ?ВАС BD/BE = BA/BC; x/30 = (x + a)/70; 7х = 3х + 3a; x = 3/4a. Заметим, что ADEF – квадрат, т. е. DE = EF = AF = DA = a.

Из ?DBE по теореме Пифагора BD2+ DE2= BE2; х2+ а2= 900; 9а2/16 + a2 = 900; 25а2/16 = 900; а = 24; х = 3/4 ? 24 = 18.

Геометрия: Планиметрия в тезисах и решениях. 9 класс

Ответ: 42 см; 56 см.

Задача 121 (рис. 282)

Геометрия: Планиметрия в тезисах и решениях. 9 класс

Рис. 282.


Решение. Пусть AD = х. ?BOF ~ ?AOD по равенству трёх углов, поэтому AD/BF = OD/OB; AD/4 = 18/6; AD = 12.

Ответ: 12.

Задача 122 (рис. 283)

Геометрия: Планиметрия в тезисах и решениях. 9 класс

Рис. 283.


Решение. Обозначим радиус большей окружности через х. Из рисунка видно, что из прямоугольного треугольника ОКА ОА = AK/sin 30° = 1/(1/2) = 2. Треугольники OAK и ОВМ подобны, поэтому ОА/OB = АК/BM; 2/(3 + x) = 1/x; 2х = 3 + х; х = 3.

Ответ: 3.

Задача 123 (рис. 284)

Геометрия: Планиметрия в тезисах и решениях. 9 класс

Рис. 284.


Решение. Обозначим сторону квадрата GDEF через х и проведем высоту ВН. ?ВКЕ подобен ?ВНС (см. рис.), значит, BK/KE = BH/HC; (BH – x)/(x/2) = BH/(a/2);

Геометрия: Планиметрия в тезисах и решениях. 9 класс
Геометрия: Планиметрия в тезисах и решениях. 9 класс

Ответ:

Геометрия: Планиметрия в тезисах и решениях. 9 класс

Задача 124 (рис. 285)

Геометрия: Планиметрия в тезисах и решениях. 9 класс

Рис. 285.


Решение. Пусть ВР = a; PR = b; RD = с. ?ВРМ ~ ?APD, значит, ВР/PD = ВМ/AD = 1/2; отсюда b + с = 2а. Аналогично ?RND ~ ?BRA; RD/BR = ND/AB = 1/2; a + b = 2c.

Геометрия: Планиметрия в тезисах и решениях. 9 класс

Вычитаем из первого уравнения второе: с – а = 2а – 2с; с = а; а + b = 2с = 2а; а = b.

Ответ: а = b = с, что и требовалось доказать.

Задача 125

Геометрия: Планиметрия в тезисах и решениях. 9 класс

Рис. 286.


Решение. ?РВС подобен ?PAD, поэтому РВ/PD = BC/AD = b/a, PB = PD ? b/a. ?PMD подобен ?BCD, значит РМ/BC = PD/BD;

Геометрия: Планиметрия в тезисах и решениях. 9 класс

Ответ: 2ab/(a + b).

Задача 126 (рис. 287)

Геометрия: Планиметрия в тезисах и решениях. 9 класс

Рис. 287.


Решение. Из прямоугольных треугольников АВР, BCQ находим ВР/AB = cos В, BQ/BC = cos В. Из этих равенств следует, что треугольники BPQ и ABC подобны (по двум сторонам и углу между ними), причём коэффициент подобия равен cos В. Так как отношение площадей подобных многоугольников равно квадрату коэффициента подобия, то

Геометрия: Планиметрия в тезисах и решениях. 9 класс

По условию треугольник ABC остроугольный, значит, cos В > 0 и, следовательно, cos В = 1/3. Из подобия треугольников ABC и BPQ вытекает равенство

Геометрия: Планиметрия в тезисах и решениях. 9 класс

Обозначим через R радиус окружности, описанной вокруг треугольника ABC. По теореме синусов:

Геометрия: Планиметрия в тезисах и решениях. 9 класс

откуда R = 9/2.

Ответ: R = 9/2.

Задача 129 (рис. 288)

Геометрия: Планиметрия в тезисах и решениях. 9 класс

Рис. 288.


Решение. Соединим центр окружности О с вершинами четырёхугольника и точками касания. Перед нами четыре пары равных треугольников: ?АОК = ?AON. ?ВОК = ?BOL, ?COL = ?COM, ?DOM = ?DON. Тогда ?АОК = ?AON, ?ВОК = ?BOL, ?COL = ?COM, ?DOM = ?DON. Из рисунка видно, что 2? + 2? + 2? + 2? = 360°, ? + ? + ? + ? = 180°. ?АОВ + ?COD = ? + ? + ? + ? = 180°.

Ответ: 180°.

Задача 130 (рис. 289)

Геометрия: Планиметрия в тезисах и решениях. 9 класс

Рис. 289.


Решение. Так как в трапецию можно вписать окружность, то АВ + CD = AD + ВС. Если АВ = h; AD = a; BC = b, то CD = a + b – h, KD = а – b. Из треугольника KCD следует, что KD2+ CK2= CD2; (а – b2) + h2= (a + b – h2). Имеем: a2 – 2ab + b2+ h2= a2+ b2+ h2+ 2ab – 2ah – 2bh; -2ab = 2ab – 2ah – 2bh; ah + bh = 2ab; h = 2ab/(a + b). h – диаметр окружности.

Геометрия: Планиметрия в тезисах и решениях. 9 класс

Ответ:

Геометрия: Планиметрия в тезисах и решениях. 9 класс

Задача 131 (рис. 290)

Геометрия: Планиметрия в тезисах и решениях. 9 класс

Рис. 290.


Решение. Пусть ABCD – данная трапеция, АВ = 5, CD = 3, KL – средняя линия. Обозначим величины отрезков ВС и AD через х и у соответственно. Так как в четырёхугольник ABCD можно вписать окружность, то х + у = ВС + AD = АВ + CD = 8. Поскольку KL – средняя линия трапеции, то KL = (BC + AD)/2 = 4. Если h – высота трапеции ABCD, то из теоремы о пропорциональных отрезках, отсекаемых параллельными прямыми, следует, что высоты трапеций KBCL и AKLD равны h/2. Для площадей этих трапеций имеем

Геометрия: Планиметрия в тезисах и решениях. 9 класс

По условию

Геометрия: Планиметрия в тезисах и решениях. 9 класс

После упрощений получаем уравнение 11x – 5у = -24. Система уравнений

Геометрия: Планиметрия в тезисах и решениях. 9 класс

имеет единственное решение х = 1, y = 7.

Ответ: BC = 1, AD = 7.

Задача 135 (рис. 291)

Геометрия: Планиметрия в тезисах и решениях. 9 класс

Рис. 291.


Решение. По теореме о величине вписанного в окружность угла ?ABC = 1/2 ?АОС. Заметим, что ?АОС = ?MON, a yroл ?МОN опирается на диаметр MN окружности с центром О1. ?АОС = 90°, и значит 1/2 ?АОС = 1/2 90° = 45°.

Ответ: 45°

Задача 136 (рис. 292)

Геометрия: Планиметрия в тезисах и решениях. 9 класс

Рис. 292.


Решение. Пусть точка А делит хорду ВС на отрезки 5 и 4. Проведём через точки А и О (центр окружности) диаметр ED, причём ED = 2R = 12. Обозначим AD через х, тогда ОА = 6 – х (см. рис.). ?DCA = ?АЕВ (опираются на одну и ту же дугу BD), ?ADC подобен ?BEА (по двум углам), значит, AD/AB = AC/AE; x/5 = 4/(12 – x); 12х – х2= 20; х2 – 12х + 20 = 0; х = 10 или 2. Учитывая, что х ? R, получим x = AD = 2.

Ответ: 2.

Задача 137

Геометрия: Планиметрия в тезисах и решениях. 9 класс

Рис. 293.


Решение I (рис. 293). Обозначим точки пересечения окружности лучами р и q соответственно через С, А и Е, В. Проведём CD||ЕВ. Получим угол ?ACD = х. Угол ?ACD является вписанным в окружность и по определению равен половине дуги AD. По условию задачи дуга СЕ = ?, а дуга АВ равна ?. Тогда дуга AD = ? – ?. В таком случае х = 1/2 (? – ?).

Геометрия: Планиметрия в тезисах и решениях. 9 класс

Рис. 294.


Решение II (рис. 294). Обозначим точки пересечения окружности прямыми р и q соответственно через А, Е и D, С. Проведём EF||CD. Угол AEF будет равен х (как внутренние накрест лежащие углы при параллельных CD, FE и секушей АЕ). ?AEF является вписанным в окружность и равен половине дуги AF. Из условия задачи и построений следует, что дуга AF = ? + ?.

Следовательно,

Геометрия: Планиметрия в тезисах и решениях. 9 класс

Задача 138 (рис. 295)

Геометрия: Планиметрия в тезисах и решениях. 9 класс

Рис. 295.


Решение. Так как BD – диаметр окружности, то ?BAD = ?BCD = ?/2. Обозначим ?ABD через х, тогда из прямоугольного треугольника ABD получаем, что cos х = AB/BD. По условию BD = 2, АВ = 1, значит, cos х = 1/2, и так как х – внутренний угол прямоугольного треугольника ABD, то х = ?/3. Тогда ?DBC = 3/4 (?ABD) = 3/4 ? ?/3 = ?/4. Вписанные углы ACD и ABD опираются на одну и ту же дугу AED, значит, ?ACD = ?ABD = ?/3. Из треугольника ADC по теореме синусов получаем, что

Геометрия: Планиметрия в тезисах и решениях. 9 класс
Геометрия: Планиметрия в тезисах и решениях. 9 класс

Ответ:

Геометрия: Планиметрия в тезисах и решениях. 9 класс

Задача 141

Решение. OB = 4; ВС = 3, значит ОС = 7. OB ? ОС = ОА2; 4 ? 7 = OA2; OA = 2?7.

Ответ: 2?7.

Задача 146 (рис. 296)

Геометрия: Планиметрия в тезисах и решениях. 9 класс

Рис. 296.


Решение. Достроим ?ABD до параллелограмма. Тогда АС < АВ + ВС, но АС = 2AM, 2AM < АВ + ВС = АВ + AD, что и требовалось доказать. Заметим, что AM является медианой ?ABD.

Задача 147 (рис. 297)

Геометрия: Планиметрия в тезисах и решениях. 9 класс

Рис. 297.


Решение. Достаточно построить симметричные точки относительно берегов и длина полученной ломаной равна длине прямолинейного отрезка А'В', т. е. минимальна.

Задача 148 (рис. 298)

Геометрия: Планиметрия в тезисах и решениях. 9 класс

Рис. 298.


Решение. Так как средняя линия трапеции ABCD равна 4, то сумма оснований равна 8. Воспользуемся тем, что середины оснований и точка пересечения боковых сторон трапеции лежат на одной прямой КМ. Из ?AKD ?AKD = 90°. Заметим, что ?AKD – прямоугольный, причем AD – гипотенуза и точкой М делится пополам. Но тогда AM = MD = КМ = 4 – х (радиусы описанной около ?AKD окружности), КЕ = 3 – х, где х – это длина отрезков BE и ЕС. Из подобия ?АКМ и ?ВКЕ следует: (4 – х)/x = (4 – х)/(3 – x); x = 3/2; BC = 3, AD = 5.

Ответ: 5 и 3.

Задача 154 (рис. 299)

Геометрия: Планиметрия в тезисах и решениях. 9 класс

Рис. 299.


Решение. Пусть D – проекция точки F на прямую d. Середину О отрезка DF примем за начало прямоугольной системы координат, а прямую OF – за ось ординат. Точке F отнесём координаты (0; 1). Прямая d будет иметь уравнение у = -1. Пусть М(х; y) – произвольная точка плоскости. Тогда

Геометрия: Планиметрия в тезисах и решениях. 9 класс

и MN = |у + 1 |, где MN – расстояние от точки М до прямой d. Если

Геометрия: Планиметрия в тезисах и решениях. 9 класс

Возведя обе части в квадрат, получим уравнение у = 1/4x2.

Обратно, если координаты точки М удовлетворяют этому уравнению, то х2= 4у и, следовательно,

Геометрия: Планиметрия в тезисах и решениях. 9 класс

Заметим, что если вместо DF = 2 положить DF = р, то получим уравнение х2= 2ру.

Из школьного курса алгебры известно, что линия, определяемая уравнением у = ах2, называется параболой.

Задача 155 (рис. 300)

Геометрия: Планиметрия в тезисах и решениях. 9 класс

Рис. 300.


Решение. Переведём условие задачи на векторный язык. Поскольку точки Р, A, D так же, как и точки Р, В, С, лежат на одной прямой, то PD = аРА, PC = bРВ, где а и b – коэффициенты пропорциональности, а > 0; b > 0. Точки М и N – середины отрезков АВ и CD. Следовательно,

Геометрия: Планиметрия в тезисах и решениях. 9 класс

Учитывая приведённые выше равенства, получаем: PN = 1/2(аРА + bРВ). Согласно условию задачи, векторы РМ и PN коллинеарны. Следовательно, найдётся такое число ?, что

Геометрия: Планиметрия в тезисах и решениях. 9 класс

откуда (а – ?)РА + (b – ?)РВ = 0. На основании единственности разложения вектора по неколлинеарным векторам РА и РВ заключаем, что а = b = ?. Таким образом, PD = аРА и PC = аРВ. Вычитая из первого равенства второе, получаем CD = аВА. Значит, стороны CD и АВ параллельны, т. е. ABCD – трапеция.

Задача 156 (рис. 301)

Геометрия: Планиметрия в тезисах и решениях. 9 класс

Рис. 301.


Решение. Высота равнобедренного треугольника является его осью симметрии. Поэтому середину D основания АВ треугольника ABC удобно принять за начало прямоугольной системы координат, а направленные прямые АВ и DC – за оси координат. Тогда вершинам треугольника можно отнести координаты: А(-1; 0), B(1; 0), С(0; с).

Вычислим угловые коэффициенты прямых АЕ и СМ. Для этого сначала найдём координаты точек Е и М. Запишем уравнение прямой ВС: х + у/с = 1 или у = – сх + с.

Так как DE ? ВС, то угловой коэффициент прямой DE равен 1/с, а её уравнение есть у = (1/c)x. Решая систему уравнений

Геометрия: Планиметрия в тезисах и решениях. 9 класс

находим координаты точки Е:

Геометрия: Планиметрия в тезисах и решениях. 9 класс

Следовательно, М (х1/2; у1/2).

Угловые коэффициенты прямых АЕ и СМ равны соответственно

Геометрия: Планиметрия в тезисах и решениях. 9 класс

Подставив значения x1 и у1 получим:

Геометрия: Планиметрия в тезисах и решениях. 9 класс

k1k2 = -1, что говорит о перпендикулярности прямых. Значит, отрезки АЕ и СМ перпендикулярны.

Задача 157

Решение. Имеем (PA + РВ + PC)2? 0, причем равенство достигается только тогда, когда Р – центроид треугольника ABC. Отсюда

Геометрия: Планиметрия в тезисах и решениях. 9 класс

Но

Геометрия: Планиметрия в тезисах и решениях. 9 класс
Геометрия: Планиметрия в тезисах и решениях. 9 класс

Тогда

Геометрия: Планиметрия в тезисах и решениях. 9 класс
Геометрия: Планиметрия в тезисах и решениях. 9 класс

Подставив эти значения скалярных произведений в неравенство (1), получим:

Геометрия: Планиметрия в тезисах и решениях. 9 класс

Задача 163 (рис. 302)

Геометрия: Планиметрия в тезисах и решениях. 9 класс

Рис. 302.


Решение. Пусть ЕК = КМ = MF = а. ЕК – средняя линия в ?ABC, значит, ВС = 2а. ЕМ – средняя линия в ?ABD, поэтому AD = 2ЕМ = 2 ? 2а = 4а; AD/BC = 4а/2а =2.

Ответ: 2:1.

Задача 164 (рис. 303)

Геометрия: Планиметрия в тезисах и решениях. 9 класс

Рис. 303.


Решение. NK и MP – средние линии в ?BCD и ?ABD, поэтому NK||BD и MP||BD; MP = 1/2 BD и NK = 1/2 BD. Значит, MP||NK и MP = NK. Аналогично MN||PK (||AC) и MN = PK = 1/2 AC. Так как трапеция равнобедренная, то АС = BD, значит MN = NK = КР = РМ. Параллелограмм MNKP – ромб.

Задача 165 (рис. 304)

Геометрия: Планиметрия в тезисах и решениях. 9 класс

Рис. 304.


Решение. Очевидно, что MNPQ – параллелограмм. ?BAD + ?ABC = 180°. Так как AM и ВМ – биссектрисы, то ?ВАМ + ?АВМ = 90°, значит, ?АМВ = 90° и ?NMQ = 90°. Таким образом, MNPQ – прямоугольник.

Задача 166 (рис. 305)

Геометрия: Планиметрия в тезисах и решениях. 9 класс

Рис. 305.

Решение. SABCD = 1/2 BD ? AC ? sin ? = S. Sпараллелограмма = ab sin ? = BD ? AC ? sin ? = 2S.

Ответ: 2S.

Задача 167 (рис. 306)

Геометрия: Планиметрия в тезисах и решениях. 9 класс

Рис. 306.


Решение. Обозначим точку на диагонали, о которой идет речь в условии задачи, через О. Так как ?ABC = ?ACD, то равны и высоты ВР и DM этих треугольников. ОК = ОС ? sin ?; ОТ = ОС ? sin ? (см. рис).

Геометрия: Планиметрия в тезисах и решениях. 9 класс

что и требовалось доказать.

Задача 168 (рис. 307)

Геометрия: Планиметрия в тезисах и решениях. 9 класс

Рис. 307.


Решение. Пусть ABCD – данный в условии задачи четырёхугольник. Обозначим через Е, К, F, N середины сторон АВ, ВС, CD и AD соответственно. Тогда EN – средняя линия треугольника ABD, и, значит, EN||BD. Аналогично доказывается, что KF||BD, ЕК||АС и NF||АС. Это означает, что EN||KF и ЕК||NF, т. е. четырёхугольник NEKF – параллелограмм. По свойству параллелограмма ЕК = NF. EN = KF, и по условию EF = NK. Отсюда следует, что четырёхугольник NEFK – прямоугольник. Ранее доказано, что EN|| BD и ЕК||АС, поэтому BD ? AC. SABCD = 1/2 ? AC ? BD ? sin90° = 1/2 ? 2 ? 1 ? 1 = 1.

Ответ: 1 м2.

§ 3. Ответы к задачам экзаменационных комплектов

Ответы и указания к задачам экзаменационного комплекта № 1

Билет № 1

3) 74°.

4) ?1/?2 = R2/R1.

Билет № 2

3) 94 см.

4) AB + BD + DC = 14 см.

Билет № 3

3) 12? см2.

4) Воспользоваться тем, что две крайние части средней линии трапеции равны половине верхнего основания.

Билет № 4

3) 4 и 6 см.

4) Если В1К1С – точки касания (К – точка касания окружностей), О1, О2 – центры окружностей, то сначала доказываем, что ?АО1К = ?АКO2, а затем, что ?ВАО1 = ?АO2С.

Билет № 5

3) 5 см (воспользоваться подобием ?DCE и ?АСЕ).

4) Воспользоваться теоремой Фалеса.

Билет № 6

3) Воспользуйтесь свойством параллельных прямых.

4) Учесть то, что треугольник разбивается на прямоугольник и два равнобедренных треугольника (значит, сторона прямоугольника равна катету малого треугольника). Периметр равен сумме катетов.

Билет № 7

3) 12 см (?BOF ~ ?AOD).

4) Докажите, что расстояния от точки пересечения диагоналей до сторон ромба равны.

Билет № 8

3) Докажите равенство углов DBA и ACF и воспользуйтесь признаком параллельности прямых.

4) Выразите по теореме Пифагора квадрат каждой стороны четырёхугольника через соответствующие отрезки диагоналей.

Билет № 9

3) 68°, 68° и 44°.

4) 4?3 см и 6?2 см.

Билет № 10

3) 4 (т. к. 180° (n – 2) = 360°).

4) Если АС = а, то AD = a/2, АВ = 2а, DB = 3a/2.

Билет № 11

3) 56 см.

4) В равностороннем треугольнике биссектрисы и медианы совпадают; воспользуйтесь свойством точки пересечения медиан.

Билет № 12

3) 66° и 66°.

4) По 60°.

Билет № 13

3) 8, 6 и 6 см.

4) 60° (угол DOG, больший 180°, равен 2 ? 150° = 300°).

Билет № 14

3) 13 см.

4) Стороны равностороннего треугольника – по 12 см, а равнобедренного – 12, 14 и 14 см.

Билет № 15

3) Треугольники равны по двум сторонам и углу между ними.

4)

Геометрия: Планиметрия в тезисах и решениях. 9 класс

Билет № 16

3) Треугольники равны по двум сторонам и углу между ними.

4) 1:1:?3.

Билет № 17

3) 5 см (обозначьте АВ = ВС = a; AD = DC = в, BD = х и запишите систему уравнений).

4) 12 и 8 см (докажите равенство ?AMP и ?PNC, из которого следует, что АР = 12).

Билет № 18

3) 67°.

4) Воспользуйтесь тем, что внешний угол треугольника равен сумме двух внутренних, с ним не смежных.

Билет № 19

3) 25/2 см2.

4) 5 (т. к. сумма внешних углов равна 360°, то угол в правильном многоугольнике равен 468° – 360° = 108°. Далее: 180°(n – 2)/n = 108°; n = 5).

Билет № 20

3) Пусть АВ – общая хорда двух окружностей с центрами О1 и O2, ?О1АO2 = ?О1BO2 (по трем сторонам), значит, углы АO2О1 и O1O2B равны, а биссектриса в равнобедренном треугольнике является и высотой.

4) 16 (т. к. в трапецию вписана окружность, то сумма оснований – а она равна 8 – равна сумме боковых сторон).

Билет № 21

3) Увеличивается на 20? см.

4) Проведите диагонали в трапеции, рассмотрите средние линии полученных треугольников и учтите равенство боковых сторон трапеции.

Билет № 22

3) С(0; -6).

4) 20 см.

Билет № 23

3) Медиана в равнобедренном треугольнике является и серединным перпендикуляром.

4) Окружность (середины равных хорд окружности равноудалены от центра окружности).

Ответы и указания к задачам экзаменационного комплекта № 2

Билет № 1

3) 37,9 дм.

4)

Геометрия: Планиметрия в тезисах и решениях. 9 класс

5) 12 см.

Билет № 2

3) 12 и 8 см.

4) а) 6 см; б) 8 см; нет.

5) К (18, 12).

Билет № 3

3)

Геометрия: Планиметрия в тезисах и решениях. 9 класс

4) б) 80° и 100°.

5) Докажите равенство ?AFC и ?АМС.

Билет № 4

3) 41° и 49°.

4) а) угол D = 30°, угол CAD = 15°; б)

Геометрия: Планиметрия в тезисах и решениях. 9 класс

5) 210 см2.

Билет № 5

3) 4 и 3 см (воспользуйтесь свойством биссектрисы).

4) 6 см.

5) Уменьшится в 21 раз.

Билет № 6

3) Получится равная трапеция.

4) 25?2 см2.

5) Докажите равенство ?АОВ и ?EOD.

Билет № 7

3) 53° (ВС параллельна AD).

4) x = 2; y = -0,5;z = -1.

5)

Геометрия: Планиметрия в тезисах и решениях. 9 класс

(пусть

Геометрия: Планиметрия в тезисах и решениях. 9 класс

далее для нахождения ЕО и OF воспользуйтесь теоремой синусов).

Билет № 8

3)

Геометрия: Планиметрия в тезисах и решениях. 9 класс

4) 60 см2.

5) 15° (?АВР – равнобедренный, а т. к. угол В равен 50°, то угол PAC = 65° – 50° = 15°).

Билет № 9

3) Да.

4) (9 + 3?3) см.

5) 60° (угол ВАО равен углу СВО и пусть он равен ?;

Геометрия: Планиметрия в тезисах и решениях. 9 класс

и угол ВОС равен 180° – 60° – 60° = 60°).

Билет № 10

з) ?3.

4) ?7 см.

5) 10/?7 = (по теореме косинусов третья сторона равна ?21, значит

Геометрия: Планиметрия в тезисах и решениях. 9 класс

и т. д.).

Билет № 11

3) 32° (СО – часть высоты).

4) 15 и 24 м.

5) Докажите, что ?MDP = ?NBK, ?ANM = ?КСР и воспользуйтесь признаком параллелограмма).

Билет № 12

3) 73°.

4) 30?2 см2.

5)

Геометрия: Планиметрия в тезисах и решениях. 9 класс

Билет № 13

3) 40?3 см2.

4) Нет, т. к. треугольника со сторонами 1, 4 и 5 не существует (сумма двух любых сторон треугольника всегда больше третьей стороны).

5) 5 см (достройте трапецию до правильного шестиугольника).

Билет № 14

3) Да (k = 2).

4) 4?3 + 6.

5) 62°, 49°, 69°.

Билет № 15

3) 43°.

4) DE = 96/5 м (проще всего заметить, что ?ADE ~ ?ABC).

5) 22 см.

Билет № 16

3) 12; 12?3; 24 см.

4) а) равенство следует из подобия треугольников ВНС и DCP.

б) 4/5.

5) Проведите из центра квадрата прямые, параллельные сторонам квадрата и найдите равные треугольники.

Билет № 17

3)

Геометрия: Планиметрия в тезисах и решениях. 9 класс

4) а) МТ и РК параллельны, a MP и КT – нет; б) да.

5) 110° и 70°.

Билет № 18

3) Угол DBC равен 17°, угол ABC равен 34°, АС = 18 см.

4) а) 0; б) – 2 (угол между векторами 120°).

5) 2, 3, 4, 5 или 6 см.

Ответы к задачам экзаменационного комплекта № 3

Билет № 1

3) ?3a2/4 (задача 99; см. решение на стр. 155).

4) 84° (задача 133).

Билет № 2

3) 3(?2–1) (задача 72; см. решение на стр. 149).

4) 100 (задача 48; см. решение на стр. 144).

Билет № 3

3) 5 (задача 75).

4) (задача 167; см. решение на стр.167).

Билет № 4

3)

Геометрия: Планиметрия в тезисах и решениях. 9 класс

(задача 140).

4) 6 (задача 103).

Билет № 5

3) 12 и 4 (задача 53; см. решение на стр. 145).

4) 2 (задача 136; см. решение на стр.162).

Билет № 6

3) 3/2 (задача 81).

4)

Геометрия: Планиметрия в тезисах и решениях. 9 класс

(задача 123; см. решение на стр.158).

Билет № 7

3) 12 (задача 45; см. решение на стр. 142).

4) 16 см (задача 68).

Билет № 8

3) 6 (задача 20).

4) 2:3 (задача 151).

Билет № 9

3) 5 (задача 119; см. решение на стр. 157).

4)

Геометрия: Планиметрия в тезисах и решениях. 9 класс

(задача 83).

Билет № 10

3) 1 (задача 12; см. решение на стр. 133).

4) 85?/4 (задача 20).

Билет № 11

3) 15/2 см (задача 87; см. решение на стр. 151).

4) 150 (задача 57).

Билет № 12

3) 13, 14 и 15 (задача 93).

4) 96; 156 (задача 55; см. решение на стр. 145).

Билет № 13

3) (задача 164; см. решение на стр. 166).

4) 10; 20; 10?3 см.

Билет № 14

3) 9 см (задача 116).

4) 30°, 60° (задача 33; см. решение на стр.139).

Билет № 15

3) 20/3 см (задача 21).

4) 3 (задача 82).

Билет № 16

3)

Геометрия: Планиметрия в тезисах и решениях. 9 класс

(задача 150).

4) 4?3 (задача 52).

Билет № 17

3) 15 и 5 (задача 39).

4) cos В (задача 114).

Билет № 18

3) 24 (задача 127).

4) 6?3 (задача 115).

Билет № 19

3) 7 (задача 54; см. решение на стр. 145).

4) 25? см2(задача 28).

Билет № 20

3) 8 и 15 см (задача 92).

4) 156 см2(задача 95; см. решение на стр. 153).

Ответы к задачам экзаменационного комплекта № 4

Билет № 1

4) R = 9/2 (задача 126; см. решение на стр. 159).

5) 3/4 аb (задача 144).

Билет № 2

4)

Геометрия: Планиметрия в тезисах и решениях. 9 класс

(задача 6).

5) 13/4 (задача 153).

Билет № 3

4)

Геометрия: Планиметрия в тезисах и решениях. 9 класс

(задача 8).

5)

Геометрия: Планиметрия в тезисах и решениях. 9 класс

(задача 138; см. решение на стр. 162).

Билет № 4

4) 1/2 b2cos2? ctg ? (задача 29).

5) 1 м2(задача 168; см. решение на стр. 167).

Билет № 5

4) ВС = 1, AD = 7 (задача 131; см. решение на стр.161).

5) 2/3?145 см (задача 14).

Билет № 6

4) 4?5 (задача 78; см. решение на стр.135).

5) 7/4 (задача 104).

Билет № 7

4) 2?13 м (задача 41).

5) 15 (задача 15; см. решение на стр. 135).

Билет № 8

4)

Геометрия: Планиметрия в тезисах и решениях. 9 класс

(задача 134).

5) Длина BL больше длины BG (задача 35; см. решение на стр. 140).

Билет № 9

4) 147/8 (задача 117).

5) (задача 155; см. решение на стр. 164).

Билет № 10

4)

Геометрия: Планиметрия в тезисах и решениях. 9 класс

(задача 36; см. решение на стр.141).

5) 27/8 см2(задача 98).

Билет № 11

4) 10 см (задача 84).

5) (задача 156; см. решение на стр. 165).

Билет № 12

4) отношение длины АВ к длине АС равно

Геометрия: Планиметрия в тезисах и решениях. 9 класс

при n = 2; равно 1 при n = 3; при остальных n решений нет (задача 9).

5) 72/5 (задача 49; см. решение на стр. 144).

Билет № 13

4) 10?З см2(задача 42).

5) 9 см, 12 см, 15 см (задача 96; см. решение на стр. 154).

Билет № 14

4)

Геометрия: Планиметрия в тезисах и решениях. 9 класс

(задача 91; см. решение на стр. 153).

5) ?7 (задача 145).

Билет № 15

4) (задача 154; см. решение на стр. 164).

5) Длина стороны квадрата равна 17; точка О лежит внутри квадрата (задача 69).

Билет № 16

4) (задача 16; см. решение на стр. 136).

5)

Геометрия: Планиметрия в тезисах и решениях. 9 класс

(задача 66; см. решение на стр. 147).

Билет № 17

4)

Геометрия: Планиметрия в тезисах и решениях. 9 класс

(задача 17; см. решение на стр.136).

5) Парабола (задача 154; см. решение на стр. 164).

Билет № 18

4) (задача 63).

5) 6; 3/4 (задача 106; см. решение на стр. 156).

Билет № 19

4)

Геометрия: Планиметрия в тезисах и решениях. 9 класс

(задача 30).

5) 30 см2, 90° (задача 143).

Билет № 20

4) (задача 162).

5) 5 и 3 (задача 148; см. решение на стр. 164).




home | my bookshelf | | Геометрия: Планиметрия в тезисах и решениях. 9 класс |     цвет текста   цвет фона   размер шрифта   сохранить книгу

Текст книги загружен, загружаются изображения
Всего проголосовало: 65
Средний рейтинг 3.8 из 5



Оцените эту книгу